92. Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{x{{\rm{e}}^x}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) và \(F\left( 1 \right) = 1\). Hệ số tự do của \(F\left( x \right)\) thuộc khoảng

Câu hỏi:

92. Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{x{{\rm{e}}^x}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) và \(F\left( 1 \right) = 1\). Hệ số tự do của \(F\left( x \right)\) thuộc khoảng

A. \(\left( { – \frac{1}{2};\,0} \right)\).

B. \(\left( {0;\,\frac{1}{2}} \right)\).

C. \(\left( {\frac{1}{2};\,1} \right)\).

D. \(\left( { – 1;\, – \frac{1}{2}} \right)\).

Lời giải

\(\int {\frac{{x{{\rm{e}}^x}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} {\rm{d}}x = \int {\frac{{\left( {x + 1} \right){{\rm{e}}^x} – {{\rm{e}}^x}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = } \int {\left[ {\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{x + 1}} – \frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \int {\left[ {{{\left( {{{\rm{e}}^x}} \right)}^\prime }.\frac{1}{{x + 1}} + {{\rm{e}}^x}.{{\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right)}^\prime }} \right]{\rm{d}}x = } \int {{{\left( {{{\rm{e}}^x}.\frac{1}{{x + 1}}} \right)}^\prime }{\rm{d}}x = \frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{x + 1}} + C} \).

Do \(F\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \frac{{\rm{e}}}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = 1 – \frac{{\rm{e}}}{{\rm{2}}} \Rightarrow C \approx  – 0,36\).

Vậy hệ số tự do của \(F\left( x \right)\) thuộc khoảng \(\left( { – \frac{1}{2};\,0} \right)\). 

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân