60. Biết \(\int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x}}{x}{\rm{d}}x = \frac{a}{b}} \) với \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(S = {a^2} + {b^2}\).

Câu hỏi:

60. Biết \(\int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x}}{x}{\rm{d}}x = \frac{a}{b}} \) với \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(S = {a^2} + {b^2}\).

A. \(S = 40\).

B. \(S = 10\).

C. \(S = 4\).

D. \(S = 9\).

Lời giải

Đặt \(u = \ln x\) \( \Rightarrow {\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\).

Đổi cận: \(x = 1\)\( \Rightarrow \)\(u = 0\); \(x = e\) \( \Rightarrow \)\(u = 1\)

Do đó: \(I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x}}{x}{\rm{d}}x = } \)\(\int\limits_0^1 {{u^2}{\rm{d}}u}  = \left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {1^2} + {3^2} = 10\)_.

Vậy \(S = 10\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân