Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = \left( {x – 7} \right)\left( {{x^2} – 9} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {a{x^3} + bx} \right| + 2m + 3} \right)\) với \(a.b > 0\) có ít nhất 3 điểm cực trị?

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = \left( {x – 7} \right)\left( {{x^2} – 9} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {a{x^3} + bx} \right| + 2m + 3} \right)\) với \(a.b > 0\) có ít nhất 3 điểm cực trị?

A. \(1.\)

B. \(2.\)

C. \(3.\)

D. \(4.\)

GY:

Ta có BBT của hàm \(y = \left| {h\left( x \right)} \right| = \left| {a{x^3} + bx} \right|\) như sau

Ta có \(g’\left( x \right) = {\left| {a{x^3} + bx} \right|^\prime }.f’\left( {\left| {a{x^3} + bx} \right| + 2m + 3} \right) = \frac{{x\left( {3a{x^2} + b} \right)\left( {a{x^2} + b} \right)}}{{\left| {a{x^3} + bx} \right|}}.f’\left( {\left| {a{x^3} + bx} \right| + 2m + 3} \right)\).

Rõ ràng \(g’\left( x \right)\) không xác định tại \(x = 0\) và đổi dấu khi \(x\) đi qua 0 nên \(x = 0\) là 1 điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {a{x^3} + bx} \right| + 2m + 3} \right)\).

Ta có: \(f’\left( {\left| {a{x^3} + bx} \right| + 2m + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {a{x^3} + bx} \right| + 2m + 3 = 7}\\{\left| {a{x^3} + bx} \right| + 2m + 3 = 3}\\{\left| {a{x^3} + bx} \right| + 2m + 3 = – 3}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {a{x^3} + bx} \right| = 4 – 2m}\\{\left| {a{x^3} + bx} \right| = – 2m}\\{\left| {a{x^3} + bx} \right| = – 6 – 2m}\end{array}} \right.\).

Để hàm số \(g\left( x \right)\) có ít nhất \(3\) điểm cực trị thì phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có ít nhất \(2\) nghiệm phân biệt khác \(0\) và \(g’\left( x \right)\) đổi dấu khi đi qua ít nhất \(2\) trong số các nghiệm đó.

Từ BBT ta có \(4 – 2m > 0 \Leftrightarrow m < 2\)

Vì \(m\) nguyên dương nên \(m = 1\)

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

=======