Đề bài:    Cho hệ phương trình: \(\begin{cases}x^2+y^2+x+y=8 \\ xy(x+1)(y+1)=m \end{cases}\)a) Giải hệ khi \(m=12\) b) Với giá trị nào của \(m\) thì hệ có nghiệm.

Lời giải

Giải
Ta có: \(\begin{cases}x^2+y^2+x+y=8 \\ xy(x+1)(y+1)=m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x= \\ y= \end{cases}\begin{cases}x^2+x+y^2+y=8 \\ x(x+1)y(y+1)=m \end{cases} \\\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+x+y^2+y=8 \\ (x^2+x)(y^2+y)=m \end{cases}\)
Đặt: \(\begin{cases}u=x^2+x \\ v=y^2+y \end{cases}\) khi đó hệ trở thành: \(\Leftrightarrow \begin{cases}u+v=8 \\ uv=m \end{cases}\)
 Vậy \(u,v\) là nghiệm của phương trình: \(X^2-8X+m=0\) (*)

 a) Khi \(m=12\): Phương trình (*) tương đương:
    \(\Leftrightarrow X^2-8X+12=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 2\\X = 6\end{array} \right.\)
   \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}u=6 \\ v=2 \end{cases}\\\begin{cases}u=2 \\ v= 6\end{cases}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x^2+x=6 \\ y^2+y=2 \end{cases}
\\\begin{cases}x^2+x=2 \\ y^2+y=6 \end{cases}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x^2+x-6=0 \\ y^2+y-2=0
\end{cases}\\\begin{cases}x^2+x-2=0 \\ y^2+y-6=0 \end{cases}\end{array}
\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=-3,x=2 \\ y=1,y=-2 \end{cases},\\\begin{cases}x=1,x=-2 \\ y=-3,y=2 \end{cases}\end{array} \right.\)
 Vậy hệ phương trình có \(8\) nghiệm:
    \((x;y)=(-3;1), (-3;-2), (2;1), (2;1), (2;-2), (1;-3), (1;2), (-2;3), (-2;2)\)

 b) Trong trường hợp tổng quát: Đặt \(u=x^2+x \Leftrightarrow x^2+x-u=0\)
 \(\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{4u+1}}{2}\) điều kiện: \(x\geq -\frac{1}{4}.v=y^2+y-v=0\)
 \(\Leftrightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{4v+1}}{2}\) điều kiện: \(y\geq -\frac{1}{4}\), khi đó hệ đã cho sẽ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm đều \(\geq -\frac{1}{4}\)
    \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta’ = 16-m\geq 0\\\left (-\frac{1}{4} \right )^2-8(-\frac{1}{4})+m\geq 0  \\  \frac{x_1+x_2}{2}\geq -\frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m\leq 16\\m\geq -2-\frac{1}{16} \Leftrightarrow \frac{-33}{16}\leq m\leq 16  \\  4\geq -\frac{1}{4}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: \(\frac{-33}{16}\leq m\leq 16\)

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng