Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0\), \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = 7} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{3}} \). Tíchphân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0\), \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = 7} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{3}} \). Tíchphân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

A.\(\frac{7}{5}\).

B. \(1\).

C. \(\frac{7}{4}\).

D. \(4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có\(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)dx = \left. {\left[ {\frac{{{x^3}}}{3}f\left( x \right)} \right]} \right|} _0^1 – \int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{3}} f’\left( x \right)dx\). Suy ra \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{3}} f’\left( x \right)dx =  – \frac{1}{3}\).

Hơn nữa ta dễ dàng tính được \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^6}}}{9}\,} {\rm{d}}x = \frac{1}{{63}}\).

Do đó\(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x + 2.21} \int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{3}} f’\left( x \right){\rm{d}}x + {21^2}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^6}}}{9}\,} {\rm{d}}x = 0\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right) + 7{x^3}} \right]}^2}{\rm{d}}x}  = 0\).

Suy ra \(f’\left( x \right) =  – 7{x^3}\), do đó \(f\left( x \right) =  – \frac{7}{4}{x^4} + C\). Vì \(f\left( 1 \right) = 0\) nên \(C = \frac{7}{4}\).

Vậy\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  =  – \frac{7}{4}\int\limits_0^1 {\left( {{x^4} – 1} \right){\rm{d}}x}  = \frac{7}{5}\).