Đề bài: Tìm $a$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 khi x \le 1\\ax + 2 – a khi x > 1\end{array} \right.$ có đạo hàm $f’(1)$
Lời giải
Trước hết hàm số phải liên tục tại $x = 1$, điều này thỏa mãn vì
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 2 = f(1).$
Xét các đạo hàm một phía
$f'({1^ + }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{\rm{ax}} + 2 – a – 2}}{{x – 1}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{\rm{a(x}} – 1)}}{{x – 1}} = a$
$f'({1^ – }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{{\rm{x}}^2} + 1 – 2}}{{x – 1}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x + 1) = 2$.
Vậy để $\exists f'(1)$ phải có $a = 2$
Trả lời