95. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1;\,0} \right\}\) thỏa mãn điều kiện: \(f\left( 1 \right) =  – 2\ln 2\) và \(x.\left( {x + 1} \right).f’\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\). Biết \(f\left( 2 \right) = a + b.\ln 3\) (\(a\), \(b \in \mathbb{Q}\)). Giá trị \(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\) là

Câu hỏi:

95. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1;\,0} \right\}\) thỏa mãn điều kiện: \(f\left( 1 \right) =  – 2\ln 2\) và \(x.\left( {x + 1} \right).f’\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\). Biết \(f\left( 2 \right) = a + b.\ln 3\) (\(a\), \(b \in \mathbb{Q}\)). Giá trị \(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\) là

A. \(\frac{{27}}{4}\).

B. \(9\).

C. \(\frac{3}{4}\).

D. \(\frac{9}{2}\).

Lời giải

Chia cả hai vế của biểu thức \(x.\left( {x + 1} \right).f’\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\) cho \({\left( {x + 1} \right)^2}\) ta có

\(\frac{x}{{x + 1}}.f’\left( x \right) + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}} \Leftrightarrow {\left[ {\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right)} \right]^\prime } = \frac{x}{{x + 1}}\).

Vậy \(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right) = \int {{{\left[ {\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right)} \right]}^\prime }} {\rm{d}}x = \int {\frac{x}{{x + 1}}} {\rm{d}}x = \int {\left( {1 – \frac{1}{{x + 1}}} \right)} {\rm{d}}x = x – \ln \left| {x + 1} \right| + C\).

Do \(f\left( 1 \right) =  – 2\ln 2\) nên ta có \(\frac{1}{2}.f\left( 1 \right) = 1 – \ln 2 + C \Leftrightarrow  – \ln 2 = 1 – \ln 2 + C \Leftrightarrow C =  – 1\).

Khi đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{x}\left( {x – \ln \left| {x + 1} \right| – 1} \right)\).

Vậy ta có \(f\left( 2 \right) = \frac{3}{2}\left( {2 – \ln 3 – 1} \right) = \frac{3}{2}\left( {1 – \ln 3} \right) = \frac{3}{2} – \frac{3}{2}\ln 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2},\,\,b =  – \frac{3}{2}\).

Suy ra \(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2\left[ {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { – \frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = 9\).

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tích phân