8. Trong không gian \({\rm{O}}xyz\), cho 2 đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}\), \(d’:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + z – 3 = 0\). Biết rằng đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), cắt các đường thẳng \(d\), \(d’\) lần lượt tại \(M\), \(N\) sao cho \(MN = \sqrt {11} \) ( điểm \(M\) có tọa độ nguyên). Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

8. Trong không gian \({\rm{O}}xyz\), cho 2 đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}\), \(d’:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + z – 3 = 0\). Biết rằng đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), cắt các đường thẳng \(d\), \(d’\) lần lượt tại \(M\), \(N\) sao cho \(MN = \sqrt {11} \) ( điểm \(M\) có tọa độ nguyên). Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là

A. \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 3}}.\)
B. \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ – \,4}}.\)

C. \(\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 3}}.\)
D. \(\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – \,4}}.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Chọn C
Gọi \(M\left( { – 1 + a; – 1 + 2a;1 + a} \right) \in d\) ( \(a \in \mathbb{Z}\)) , \(N\left( { – 1 + 2b;3 – b;1 – 2b} \right) \in d’\).
\(\overrightarrow {MN} = \left( {2b – a; – b – 2a + 4; – 2b – a} \right)\). Một vectơ pháp tuyến của của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\).
Ta có \(\Delta {\rm{//}}\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow – 5a + b + 4 = 0 \Leftrightarrow b = 5a – 4 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {9a – 8; – 7a + 8; – 11a + 8} \right)\)
\(MN = \sqrt {11} \Leftrightarrow \sqrt {251{a^2} – 432a + 192} = \sqrt {11} \Leftrightarrow 251{a^2} – 432a + 181 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a = \frac{{181}}{{251}}(l)}\end{array}} \right.\).
Suy ra \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương của \(\vec u = \overrightarrow {MN} = \left( {1;1; – 3} \right)\) và \(\Delta \) đi qua \(M\left( {0;1;2} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 3}}.\)