65 (THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right).\) Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình \(2f\left( x \right) < {e^{\cos x}} + m\) đúng \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) khi và chỉ khi

A. \(m \ge 2f\left( 0 \right) – e\).

B. \(m \ge 2f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – 1\).

C. \(m > 2f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – 1\).

D. \(m > 2f\left( 0 \right) – e\).

Lời giải:

Chọn B

⬥ Có \(2f\left( x \right) < {e^{\cos x}} + m \Leftrightarrow 2f\left( x \right) – {e^{\cos x}} < m\).

⬥ Xét hàm \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {e^{\cos x}}\), có \(g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) + \sin x.{e^{\cos x}} > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Suy ra \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {e^{\cos x}}\) đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\).

Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} g\left( x \right) = g\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – {e^{\cos \frac{\pi }{2}}} = 2f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – 1\).