501. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau đây

Câu hỏi: 501. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau đây

Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – \frac{1}{2}} \right) – 2\ln x\) đồng biến trên khoảng

A. \(\left( {\frac{4}{5};1} \right)\).

B. \(\left( {\frac{6}{5};2} \right)\).

C. \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

D. \(\left( {\frac{3}{5};\frac{7}{{10}}} \right)\).

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – \frac{1}{2}} \right) – 2\ln x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có

\(g’\left( x \right) = 2xf’\left( {{x^2} – \frac{1}{2}} \right) – \frac{2}{x},\)

\(g’\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2xf’\left( {{x^2} – \frac{1}{2}} \right) – \frac{2}{x} \ge 0 \Leftrightarrow f’\left( {{x^2} – \frac{1}{2}} \right) \ge \frac{1}{{{x^2}}}.\)

Đặt \(t = {x^2} – \frac{1}{2}\left( {t > – \frac{1}{2}} \right)\), ta được \(f’\left( t \right) \ge \frac{1}{{t + \frac{1}{2}}} \Leftrightarrow f’\left( t \right) \ge \frac{2}{{2t + 1}}\)

Ta vẽ trực tiếp đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{{2x + 1}}\) vào hình vẽ:

Từ đồ thị ta thấy

\(f’\left( x \right) \ge \frac{2}{{2x + 1}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le x < – \frac{1}{2}}\\{0 \le x \le \frac{1}{2}}\\{x \ge \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\). Suy ra \(f’\left( t \right) \ge \frac{2}{{2t + 1}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le t < – \frac{1}{2}\left( {loai} \right)}\\{0 \le t \le \frac{1}{2}}\\{t \ge \frac{3}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le t \le \frac{1}{2}\\t \ge \frac{3}{2}\end{array} \right..\)

Với \(0 \le t \le \frac{1}{2}\) ta có \(0 \le {x^2} – \frac{1}{2} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {x^2} \le 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 1 \le x \le – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\frac{{\sqrt 2 }}{2} \le x \le 1\end{array} \right.\).

Với \(t \ge \frac{3}{2}\) ta có \( \Rightarrow {x^2} – \frac{1}{2} \ge \frac{3}{2} \Leftrightarrow {x^2} \ge 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \sqrt 2 }\\{x \le – \sqrt 2 }\end{array}} \right.\).

Vậy \(g’\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \)\(S = \left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right] \cup \left[ { – 1; – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right] \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\).

Tức là hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên mỗi tập \(\left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right],{\rm{ }}\left[ { – 1; – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right],{\rm{ }}\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right],{\rm{ }}\left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\).

Vì \(\left( {\frac{4}{5};1} \right) \subset \left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right]\).

=======