[4] Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;3} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn qua \(A\), \(B\), \(C\) và đồng thời cắt ba tia \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) tại ba điểm phân biệt \(M\), \(N\), \(P\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(MNP\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(HI\) với \(I\left( {4;2;2} \right)\).

[4] Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;3} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn qua \(A\), \(B\), \(C\) và đồng thời cắt ba tia \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) tại ba điểm phân biệt \(M\), \(N\), \(P\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(MNP\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(HI\) với \(I\left( {4;2;2} \right)\).

A. \(\sqrt {10} \).

B. \(\sqrt 7 \).

C. \(5\sqrt 2 \).

D. \(2\sqrt 5 \).

Lời giải:

Gọi \(M\left( {m;0;0} \right)\), \(N\left( {0;n;0} \right)\), \(P\left( {0;0;p} \right)\).

Gọi \(E\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\), \(R\) là bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(AM\), ta có : \(EK \bot AM\).

Ta có : \(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OA} = \left( {\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {KM} } \right)\left( {\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {KA} } \right) = \left( {\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {KM} } \right)\left( {\overrightarrow {OK} – \overrightarrow {KM} } \right)\) \( = O{K^2} – K{M^2}\)

\( = O{E^2} – K{E^2} – K{M^2} = O{E^2} – {R^2}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {OB} = O{E^2} – {R^2}\), \(\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OC} = O{E^2} – {R^2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {ON} .\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OC} \) \( \Rightarrow m.1 = n.2 = p.3\)

Ta có : phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right):\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1\) hay \(\frac{x}{m} + \frac{{2y}}{m} + \frac{{3z}}{m} = 1\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 3z – m = 0\) \( \Rightarrow \) vectơ pháp tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2;3} \right)\).

Vì tứ diện \(OMNP\) có \(3\) cạnh từ \(O\) đôi một vuông góc nên \(OH \bot \left( {MNP} \right)\)

\( \Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(\left( {OH} \right):\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\) (cố định).

Vậy \(HI\) nhỏ nhất khi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \(OH\)

Khi đó :

Phương trình mặt phẳng qua \(I\) và vuông góc \(OH\) là : \(x + 2y + 3z – 14 = 0\),

\( \Rightarrow \) \(H\left( {1;2;3} \right)\) \( \Rightarrow IH = \sqrt {10} \)

===========

Tương tự Câu 50 CỰC TRỊ HÌNH HỌC OXYZ – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024