[4] Trong không gian \(Oxyz\) cho hình nón \(\left( N \right)\)có đỉnh \(S\left( {4;5; – 3} \right)\), bán kính đáy \({\rm{12 }}\)và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y – 2z + 28 = 0\). Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây?

A. \(170\).

B. \(260\).

C. \(294\).

D. \(208\).

Lời giải:

Ta có chiều cao của hình nón là \(SO = d\left( {S,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4 + 2.5 – 2.\left( { – 3} \right) + 28} \right|}}{{\sqrt {{1^1} + {2^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = 16\)

Đường sinh của hình nón là \(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {{{16}^2} + {{12}^2}} = 20\).

Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện là một parabol.

Xét dây cung bất kỳ chứa đoạn \(KH\) như hình vẽ, suy ra tồn tại đường kính \(AB \bot KH\), trong tam giác \(SAB\), \(KE//SA,\,E \in SB\), Suy ra Parabol nhận \(KE\) làm trục như hình vẽ chính là một thiết diện thỏa yêu cầu bài toán. (Thiết diện này song song với đường sinh \(SA\))

Đặt \(BK = x\) (với \(0 < x < 24\)).

Trong tam giác \(ABH\) có: \(H{K^2} = BK.AK = x\left( {24 – x} \right)\).

Trong tam giác \(SAB\) có: \(\frac{{KE}}{{SA}} = \frac{{BK}}{{BA}} \Leftrightarrow KE = \frac{{BK}}{{BA}}.SA \Leftrightarrow KE = \frac{{5x}}{6}\).

Thiết diện thu được là một parabol có diện tích: \(S = \frac{4}{3}KH.KE\).

Ta có: \({S^2} = \frac{{16}}{9}K{H^2}.K{E^2} = \frac{{16}}{9}.x\left( {24 – x} \right).\frac{{25{x^2}}}{{36}} = \frac{{100}}{{81}}.\left( {24{x^3} – {x^4}} \right) \Rightarrow S = \frac{{10}}{9}.\sqrt {24{x^3} – {x^4}} \)

Đặt \(f\left( x \right) = 24{x^3} – {x^4}\), với \(0 < x < 24\).

Ta có:\(f’\left( x \right) = 72{x^2} – 4{x^3}\). Suy ra \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 72{x^2} – 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 18\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Suy ra thiết diện có diện tích lớn nhất là: \(\frac{{10}}{9}\sqrt {34992} \approx 208{\rm{ }}c{m^2}\).