DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
2. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(d:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 3}}{3} = \frac{{z + 4}}{{ – 5}}\) và \(d’:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y – 4}}{{ – 2}} = \frac{{z – 4}}{{ – 1}}\) là
A. \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{1}\).
B. \(\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z – 3}}{4}\).
C. \(\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{2}\).
D. \(\frac{x}{2} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Chọn A
Gọi \(MN\) là đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\). Ta có \(M \in d\) suy ra \(M\left( {2 + 2m;3 + 3m; – 4 – 5m} \right)\). Tương tự \(N \in d’\) suy ra \(N\left( { – 1 + 3n;4 – 2n;4 – n} \right)\). Từ đó ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 3 + 3n – 2m;1 – 2n – 3m;8 – n + 5m} \right)\).
Mà do \(MN\) là đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot d\\MN \bot d’\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( { – 3 + 3n – 2m} \right) + 3.\left( {1 – 2n – 3m} \right) – 5\left( {8 – n + 5m} \right) = 0\\3\left( { – 3 + 3n – 2m} \right) – 2.\left( {1 – 2n – 3m} \right) – 1\left( {8 – n + 5m} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 38m + 5n = 43\\ – 5m + 14n = 19\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = – 1\\n = 1\end{array} \right.\).
Suy ra \(M\left( {0;0;1} \right)\), \(N\left( {2;2;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;2;2} \right)\) nên đường vuông góc chung \(MN\) là \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{1}\).
Trả lời