Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
1: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt, nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là \(V\)cho trước. Tính diện tích toàn phần bé nhất \(\min {S_{tp}}\) của hộp sữa trong hai phương án trên.
A. \(\min {S_{tp}} = \sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\).
B. \(\min {S_{tp}} = 6\sqrt[3]{{{V^2}}}\).
C. \(\min {S_{tp}} = 3\sqrt[3]{{6{V^2}}}\).
D. \(\min {S_{tp}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\).
Lời giải
Chọn D
TH1: Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật.
Gọi \(x\), \(y\), \(z\) là độ dài ba cạnh khối hộp. Khi đó: \(V = xyz\).
Diện tích toàn phần của khối hộp chữ nhật là: \({S_{tp}} = 2\left( {xy + yz + zx} \right)\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương \(\left( {xy,{\kern 1pt} yz,{\kern 1pt} zx} \right)\) ta có:
\({S_{tp}} = 2\left( {xy + yz + zx} \right) \ge 6\sqrt[3]{{{x^2}{y^2}{z^2}}} = 6\sqrt[3]{{{V^2}}}\),
dấu đẳng thức xảy ra khi \(x = y = z\).
Vậy \(\min {S_{tp}} = 6\sqrt[3]{{{V^2}}}\) (1).
TH2: Hộp sữa có dạng khối trụ.
Gọi \(R,{\kern 1pt} h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Khi đó: \(V = \pi {R^2}h\).
Diện tích toàn phần của khối trụ là: \({S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + \pi Rh + \pi Rh\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương \(\left( {2\pi {R^2};{\kern 1pt} \pi Rh;{\kern 1pt} \pi Rh} \right)\) ta có:
\({S_{tp}} = 2\pi {R^2} + \pi Rh + \pi Rh \ge 3\sqrt[3]{{2{\pi ^3}{R^4}{h^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\), Dấu đẳng thức xảy ra khi \(h = 2R\).
Vậy \(\min {S_{tp}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\) (2).
Từ (1) và (2), nhận thấy \(6\sqrt[3]{{{V^2}}} > 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\), nên \(\min {S_{tp}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\).
Trả lời