Xét hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(|{z_1}| = |{z_2}| = 1\) và \(|{z_1} + {z_2}| = \sqrt 3 \). Giá trị lớn nhất của \(|3{z_1} + 2{z_2} – 4 + 3i|\) bằng
A. \(5 – \sqrt {19} \).
B. \(5 + \sqrt {19} \).
C. \(2 + \sqrt {19} \).
D. \(2 – \sqrt {19} \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \({z_1} = a + bi\), \({z_2} = c + di\), \(a,b,c,d \in \mathbb{R},{i^2} = – 1\).
Theo giả thiết, ta có
\(|{z_1}| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1\).
\(|{z_2}| = 1 \Leftrightarrow {c^2} + {d^2} = 1\).
\(|{z_1} + {z_2}| = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow |(a + c) + (b + d)i| = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2(ac + bd) + {c^2} + {d^2}} = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow ac + bd = \frac{1}{2}\).
Xét \(|3{z_1} + 2{z_2}| = |(3a + 2c) + (3b + 2d)i|\)\( = \sqrt {9({a^2} + {b^2}) + 12(ac + bd) + 4({c^2} + {d^2})} \)\( = \sqrt {19} \).
Vậy \(|3{z_1} + 2{z_2} – 4 + 3i| = |(3{z_1} + 2{z_2}) + ( – 4 + 3i)|\)\( \le |3{z_1} + 2{z_2}| + | – 4 + 3i| = \sqrt {19} + 5\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời