Xét các số thực không âm \(x\), \(y\) thỏa mãn \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 125 – \left( {x – 1} \right)\left( {y + 1} \right)\). Khi biểu thức \(x + 5y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(5x + y\) bằng

Xét các số thực không âm \(x\), \(y\) thỏa mãn \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 125 – \left( {x – 1} \right)\left( {y + 1} \right)\). Khi biểu thức \(x + 5y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(5x + y\) bằng

A. \(117\).

B. \(118\).

C. \(119\).

D. \(120\).

Lời giải:

Ta có: \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 125 – \left( {x – 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right){\log _5}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right] = 125 – \left[ {\left( {x + 2} \right) – 3} \right]\left( {y + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right] = \frac{{125}}{{y + 1}} – \left[ {\left( {x + 2} \right) – 3} \right]\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 2} \right) + {\log _5}\left( {y + 1} \right) = \frac{{125}}{{y + 1}} – \left( {x + 2} \right) + 3\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 2} \right) = \frac{{125}}{{y + 1}} + {\log _5}{\left( {y + 1} \right)^{ – 1}} + {\log _5}125\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 2} \right) = \frac{{125}}{{y + 1}} + {\log _5}\left( {\frac{1}{{y + 1}}} \right) + {\log _5}125\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 2} \right) = {\log _5}\left( {\frac{{125}}{{y + 1}}} \right) + \frac{{125}}{{y + 1}}\)\(\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _5}t + t\)

Ta có: \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 5}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Suy ra \(f\left( t \right) = {\log _5}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó \(\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow x + 2 = \frac{{125}}{{y + 1}}\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{125}}{{y + 1}} – 2\)

Nên \(P = x + 5y = \frac{{125}}{{y + 1}} – 2 + 5y = \frac{{125}}{{y + 1}} + 5\left( {y + 1} \right) – 7 \ge 2\sqrt {\frac{{125}}{{y + 1}} \cdot 5\left( {y + 1} \right)} – 7 = 43,\forall y \ge 0\).

\(\min P = 43\) khi \(\frac{{125}}{{y + 1}} = 5\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow y = 4 \Rightarrow x = 23\)

Vậy \(5x + y = 5.23 + 4 = 119\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024