Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn 

\({\log _2}\frac{{{{\left( {x + y – 1} \right)}^2}}}{{xy + x + y – 1}} + 3\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) = 9\left( {x + y} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{4x + 3y + 7}}{{3x + 2y + 1}}\).

Câu hỏi:
Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn 

\({\log _2}\frac{{{{\left( {x + y – 1} \right)}^2}}}{{xy + x + y – 1}} + 3\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) = 9\left( {x + y} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{4x + 3y + 7}}{{3x + 2y + 1}}\).

A. \(1\).  

B. \(2\).  

C. \(3\).  

D. \(4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}xy + x + y – 1 > 0\\x + y \ne 1\end{array} \right.\). Ta có \({\log _2}\frac{{{{\left( {x + y – 1} \right)}^2}}}{{xy + x + y – 1}} + 3\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) = 9\left( {x + y} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x + y – 1} \right)^2} – {\log _2}\left( {xy + x + y – 1} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy – 2x – 2y + 1} \right) = 3\left( {xy + x + y – 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x + y – 1} \right)^2} + 3{\left( {x + y – 1} \right)^2} = {\log _2}\left( {xy + x + y – 1} \right) + 3\left( {xy + x + y – 1} \right)\) 

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 3t\) có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 3 > 0,\forall t > 0\) nên \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + y – 1} \right)^2} = xy + x + y – 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {2x + y – 3} \right)^2} + 3{\left( {y – 1} \right)^2} = 4\).

\( \Rightarrow 2x + y – 3 \le 2 \Rightarrow 2x + y \le 5\). Khi đó \(P – 2 = \frac{{4x + 3y + 7}}{{3x + 2y + 1}} – 2 = \frac{{5 – 2x – y}}{{3x + 2y + 1}} \le 0 \Rightarrow P \le 2\).

Do vậy \(\max P = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit