Xét các số thực dương \(x\), \(y\)thỏa mãn \({\log _3}\left( {\frac{{2 + 2y}}{{x + y}}} \right) = 3x + y – 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{1}{x} + \frac{1}{{\sqrt {xy} }}\) là

Câu hỏi:
Xét các số thực dương \(x\), \(y\)thỏa mãn \({\log _3}\left( {\frac{{2 + 2y}}{{x + y}}} \right) = 3x + y – 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{1}{x} + \frac{1}{{\sqrt {xy} }}\) là

A. \(2\). 

B. \(8\). 

C. \(6\). 

D. \(4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

+) Với \(x\), \(y\) dương, ta có: \({\log _3}\left( {\frac{{2 + 2y}}{{x + y}}} \right) = 3x + y – 1\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\frac{{2 + 2y}}{{x + y}}} \right) – 1 = 3x + y – 2\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\frac{{2 + 2y}}{{3x + 3y}}} \right) = 3x + y – 2\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2 + 2y} \right) – {\log _3}\left( {3x + 3y} \right) = \left( {3x + 3y} \right) – \left( {2 + 2y} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {2 + 2y} \right) + {\log _3}\left( {2 + 2y} \right) = \left( {3x + 3y} \right) + {\log _3}\left( {3x + 3y} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

+) Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {\log _3}t\) trên \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\)

có \(f’\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t\ln 3}} > 0\), \(\forall t > 0\) do đó hàm \(f\left( t \right)\)đồng biến trên \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\).

Vậy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 + 2y = 3x + 3y \Leftrightarrow 3x + y = 2\)\(\left( 2 \right)\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2 – 3x > 0\end{array} \right.\). Do đó, điều kiện \(0 < x < \frac{2}{3}\)

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si cho hai số dương \(x\), \(y\), ta có: \(\sqrt {xy}\le \frac{{x + y}}{2}\).

Do đó, \(P = \frac{1}{x} + \frac{1}{{\sqrt {xy} }} \ge \frac{1}{x} + \frac{2}{{x + y}}\). Lại có \(\frac{1}{x} + \frac{2}{{x + y}} = \frac{1}{x} + \frac{2}{{2 – 2x}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{{1 – x}}\)

Nên \(P \ge \frac{1}{x} + \frac{1}{{1 – x}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

+) Áp dụng bất đẳng thức: Với hai số dương \(a\,,\,b\) ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)

Với \(0 < x < \frac{2}{3}\) thì \(x\,,\,1 – x\) dương nên \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{1 – x}} \ge 4\,\,\,\,\left( 3 \right)\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1 – x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

+) Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra \(P \ge 4\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \(4\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit