Câu hỏi:
Xét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \(\frac{{{{\rm{e}}^{{x^2} – 2y + 2019}}}}{2} = \frac{{1 + y}}{{{x^2} + 2021}}\). Tìm giá trị lớn nhấtcủa \(P = 2y – 3{x^2} + 4x\).
A. \({P_{\max }} = 2020\).
B. \({P_{\max }} = 2021\).
C. \({P_{\max }} = 2022\).
D. \({P_{\max }} = 2023\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có\(\frac{{{{\rm{e}}^{{x^2} – 2y + 2019}}}}{2} = \frac{{1 + y}}{{{x^2} + 2021}} \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{{x^2} + 2021 – 2\left( {y + 1} \right)}} = \frac{{2 + 2y}}{{{x^2} + 2021}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{{{\rm{e}}^{{x^2} + 2021}}}}{{{{\rm{e}}^{2\left( {y + 1} \right)}}}} = \frac{{2 + 2y}}{{{x^2} + 2021}}\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2021} \right){{\rm{e}}^{{x^2} + 2021}} = 2\left( {y + 1} \right){{\rm{e}}^{2\left( {y + 1} \right)}}\left( 1 \right)\).
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = t.{{\rm{e}}^t}\) có \(f’\left( t \right) = {{\rm{e}}^t} + t.{{\rm{e}}^t} > 0\) với \(\left( {\forall t > 0} \right)\), suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\). Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) có dạng : \(f\left( {{x^2} + 2021} \right) = f\left( {2\left( {y + 1} \right)} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2021 = 2\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow 2y = {x^2} + 2019\).
Khi đó \(P = 2y – 3{x^2} + 4x = {x^2} + 2019 – 3{x^2} + 4x =- 2{x^2} + 4x + 2019\) có đồ thị là một đường Parabol, đỉnh là điểm cao nhất có tọa độ \(\left( {1;\,2021} \right)\). Do vậy, \({P_{\max }} = 2021\) khi \(x = 1\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời