Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 36\) và điểm \(A\) nằm trên đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – t\\y = 3\\z = 1 – t\end{array} \right.\) và nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\). Từ \(A\) kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\), gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa các tiếp điểm, biết \(\left( P \right)\) luôn đi qua một đường thẳng \(d\) cố định. Phương trình đường thẳng \(d\) là:
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3\\z = t\end{array} \right.\).
B.\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = – 3\\z = t\end{array} \right.\).
C.\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3\\z = – t\end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3\\z = 2 – t\end{array} \right.\).
Lời giải
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I(0; – 3;0);\,\,R = 6\).
Gọi \(A\left( {1 – a;3;1 – a} \right) \in \Delta \) .
\(M\left( {x;y;z} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ \(A\) đến \(\left( S \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in \left( S \right)\\A{M^2} = A{I^2} – I{M^2} = A{I^2} – 36\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 36\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{\left( {x – \left( {1 – a} \right)} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – \left( {1 – a} \right)} \right)^2} = {\left( {1 – a} \right)^2} + {6^2} + {\left( {1 – a} \right)^2} – 36\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
Lấy – : \(\left( {1 – a} \right)x + 6y + \left( {1 – a} \right)z = 18\) là mặt phẳng chứa các tiếp điểm.
Ta có \(\left( {1 – a} \right)x + 6y + \left( {1 – a} \right)z = 18\), \(\forall a\)\( \Leftrightarrow – a\left( {x + z} \right) + x + 6y + z – 18 = 0,\forall a\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + z = 0\\x + 6y + z – 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3\\z = – t\end{array} \right.\).
Trả lời