Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;5; – 2} \right)\), \(B\left( { – 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y – 2z + 9 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A\), \(B\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm \(C\). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giả trị lớn nhất, nhỏ nhất của độ dài \(OC\). Giá trị \({M^2} + {m^2}\) bằng

Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;5; – 2} \right)\), \(B\left( { – 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y – 2z + 9 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A\), \(B\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm \(C\). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giả trị lớn nhất, nhỏ nhất của độ dài \(OC\). Giá trị \({M^2} + {m^2}\) bằng

A. \(76\).

B. \(78\).

C. \(72\).

D. \(74\).

Lời giải:

Chọn A

Ta có \(AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 – 2t}\\{y = 5 – t}\\{z = – 2 + 2t}\end{array}} \right.\).

Gọi \(M\left( {3 – 2t;5 – t; – 2 + 2t} \right)\) là giao điểm của \(AB\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Do \(M \in \left( P \right)\) nên \(2\left( {3 – 2t} \right) + \left( {5 – t} \right) – 2\left( { – 2 + 2t} \right) + 9 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{8}{3} \Rightarrow M\left( {\frac{{ – 7}}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {22} \).

Ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AM} = \left( {\frac{{ – 16}}{3};\frac{{ – 8}}{3};\frac{{16}}{3}} \right)}\\{\overrightarrow {BM} = \left( {\frac{{ – 4}}{3};\frac{{ – 2}}{3};\frac{4}{3}} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = 8}\\{BM = 2}\end{array}} \right.\)

Do \(MC\) là tiếp tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\)\( \Rightarrow M{C^2} = MA.MB = 16 \Leftrightarrow MC = 4\)

Khi đó tập hợp điểm \(C\) là đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) nằm trên \(\left( P \right)\) có tâm là \(M\left( {\frac{{ – 7}}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\) và bán kính là \(4\).

Gọi \(C’\) và \(C”\) lần lượt là hai điểm trên đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho \(OC’\) và \(OC”\) lần lượt là giả trị lớn nhất, nhỏ nhất của độ dài \(OC\), khi đó \(C’\), \(M\) và \(C”\) theo thứ tự thẳng hàng.

Do đó \({M^2} + {m^2} = O{C’^2} + O{C”^2} = 2O{M^2} + \frac{{C'{{C”}^2}}}{2} = 2.{\sqrt {22} ^2} + \frac{{{8^2}}}{2} = 76\).

===========

Câu 44 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024