DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;2; – 3)\) và \(B( – 3;6; – 1)\). Hình nón \(\left( {{N_1}} \right)\) có đỉnh A, chiều cao AB, bán kính đáy \({r_1}\). Một hình nón \(\left( {{N_2}} \right)\) có đỉnhB và có đáy là một thiết diện nằm trên \(\left( \alpha \right)\) và song song với đáy của hình nón \(\left( {{N_1}} \right)\).
Biết mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(2x + by + cz + d = 0\) sao cho thể tích khối nón \(({N_2})\)đạt giá trị lớn
nhất. Tính \(b + c + d\).
A. \( – 1\).
B. \( – 2\).
C. \(8\).
D. \(\frac{4}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Xét mặt cắt qua trục AB. Gọi \({r_2}\) là bán kính đáy của hình nón \(({N_2})\).
\(\overrightarrow {BA} = \left( {4; – 4; – 2} \right) \Rightarrow BA = 6\) Đặt BH=x với \(0 < x < 6\)
Ta có \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}} \Leftrightarrow \frac{{6 – x}}{6} = \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}} \Rightarrow {r_2} = \frac{{6 – x}}{6}.{r_1}\)
Khi đó \({V_{{N_2}}} = \frac{1}{3}\pi {r_2}^2.BH = \frac{{\pi r_1^2}}{{216}}.2x.(6 – x).(6 – x) \le \frac{{\pi r_1^2}}{{216}}.{\left( {\frac{{2x + 6 – x + 6 – x}}{3}} \right)^3} = \frac{{8\pi r_1^2}}{{27}}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(2x = 6 – x \Leftrightarrow x = 2\).
Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow {BH} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 9 = 4\\3y – 18 = – 4\\3z + 3 = – 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { – \frac{5}{3};\frac{{14}}{3}; – \frac{5}{3}} \right)\)
\(\left( \alpha \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,H\left( { – \frac{5}{3};\frac{{14}}{3}; – \frac{5}{3}} \right)\\VTPT\,\,\overrightarrow {{n_\alpha }} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} = (2; – 2; – 1)\end{array} \right.\)
Phương trình \(\left( \alpha \right)\): \(2\left( {x + \frac{5}{3}} \right) – 2\left( {y – \frac{{14}}{3}} \right) – \left( {z + \frac{5}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – 2y – z + 11 = 0\)
Do đó \(b = – 2;c = – 1;d = 11 \Rightarrow b + c + d = 8\).
=================
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời