Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 2t\\y = – 4 + 3t\\z = 1 – t\end{array} \right.\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2y + 2z = 0\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\) chứa \(d\) và cùng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) lần lượt tại \(A,\,B\). Gọi \(I\) tà tâm mặt cầu \(\left( S \right)\). Giá trị \(\tan \widehat {AIB}\) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 2t\\y = – 4 + 3t\\z = 1 – t\end{array} \right.\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2y + 2z = 0\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\) chứa \(d\) và cùng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) lần lượt tại \(A,\,B\). Gọi \(I\) tà tâm mặt cầu \(\left( S \right)\). Giá trị \(\tan \widehat {AIB}\) bằng

A. \( – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).

B. \(\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).

C. \( – 2\sqrt 2 \).

D. \(2\sqrt 2 \).

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2; – 1; – 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 2t\\y = – 4 + 3t\\z = 1 – t\end{array} \right.\) có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { – 2;3; – 1} \right)\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \(

D.\)

Vì \(H \in d \Rightarrow H\left( { – 2t; – 4 + 3t;1 – t} \right)\)\( \Rightarrow \,\overrightarrow {IH} = \left( { – 2 – 2t; – 3 + 3t;2 – t} \right)\).

Khi đó, \(\overrightarrow {IH} .{\overrightarrow u _{_{_d}}} = 0 \Leftrightarrow – 2\left( { – 2 – 2t} \right) + 3\left( { – 3 + 3t} \right) – \left( {2 – t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Rightarrow \)\(H\left( { – 1; – \frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và \(IH = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}.\)

Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) lên \(IH\).

Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(A\) có:\(I{A^2} = IM.IH \Rightarrow IM = \frac{{I{A^2}}}{{IH}} = \frac{{{R^2}}}{{IH}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.\)

Xét tam giác \(AIM\) vuông tại \(M\) có \(A{M^2} = \sqrt {I{A^2} – I{M^2}} = \sqrt {{R^2} – I{M^2}} = \frac{{\sqrt {30} }}{3} \Rightarrow \)\(AB = \frac{{2\sqrt {30} }}{3}\).

Tam giác \(AIB\) có \(IA = IB = \sqrt 6 ,\,AB = \frac{{2\sqrt {30} }}{3}\).

Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(AIB\) ta có: \(\cos \widehat {AIB} = \frac{{I{A^2} + I{B^2} – A{B^2}}}{{2IA.IB}} = – \frac{1}{9}\).

Vì \(\cos \widehat {AIB} < 0\), nên \(\widehat {AIB} > {90^0}\) \( \Rightarrow \tan \widehat {AIB} = – \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\widehat {AIB}}} – 1} = – 2\sqrt 2 \).

===========

Câu 44 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024