. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầucó phương trình \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 12\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y – z – 3 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng song song vớivà cắttheo thiết diện là đường trònsao cho khối nóncó đỉnh là tâm I của mặt cầuvà đáy là đường tròncó thể tích lớn nhất.
A. \(2x + 2y – z + 2 = 0\) hoặc \(2x + 2y – z + 8 = 0\).
B. \(2x + 2y – z – 1 = 0\) hoặc \(2x + 2y – z + 11 = 0\).
C. \(2x + 2y – z – 6 = 0\) hoặc \(2x + 2y – z + 3 = 0\).
D. \(2x + 2y – z + 2 = 0\) hoặc \(2x + 2y – z – 2 = 0\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(\left( \alpha \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( \alpha \right):2x + 2y – z + d = 0\left( {d \ne – 3} \right)\).
Mặt cầucó tâm \(I\left( {1; – 2;3} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 3 \).
Gọilà khối nón thỏa mãn đề bài với đường sinh \(IM = R = 2\sqrt 3 .\)
Đặt \(x = h = d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right).\) Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nónlà \(r = \sqrt {12 – {x^2}} .\)
Thể tích khối nónlà \({V_{\left( N \right)}} = \frac{1}{3}\pi \left( {12 – {x^2}} \right)x\) với \(0 < x < 2\sqrt 3 .\)
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\pi \left( {12 – {x^2}} \right)x\) với \(0 < x < 2\sqrt 3 .\)
Khi đó\(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 2\).
Ta có \(d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.1 + 2.\left( { – 2} \right) – 3 + d} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = 2 \Leftrightarrow \left| {d – 5} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 11\\d = – 1\end{array} \right.\)
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn có phương trình là: \(2x + 2y – z – 1 = 0\); \(2x + 2y – z + 11 = 0.\).
================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời