Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – t\\y = t\\z = m – 1 + t\end{array} \right.\). Gọi \(T\) là tập tất cả các giá trị của \(m\) để \(d\) cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) sao cho các tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại \(A\) và \(B\) tạo với nhau góc lớn nhất có thể. Tính tổng các phần tử của tập hợp \(T\).

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay) ===============

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – t\\y = t\\z = m – 1 + t\end{array} \right.\). Gọi \(T\) là tập tất cả các giá trị của \(m\) để \(d\) cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) sao cho các tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại \(A\) và \(B\) tạo với nhau góc lớn nhất có thể. Tính tổng các phần tử của tập hợp \(T\).

A. \(3\). 

B. \( – 3\). 

C. \( – 5\). 

D. \( – 4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;0; – 2} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {2;0;m – 1} \right)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { – 1;1;1} \right)\).

Điều kiện để \(d\) cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt là \(d\left( {I;\left( d \right)} \right) < R\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IN} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} < 2\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{\sqrt {2{m^2} + 6m + 6} }}{{\sqrt 3 }} < 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{ – 3 – \sqrt {21} }}{2} < m < \frac{{ – 3 + \sqrt {21} }}{2}\).

Khi đó, tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại \(A\) và \(B\) vuông góc với \(IA\) và \(IB\) nên góc giữa chúng là góc \(\left( {IA;IB} \right)\)

Ta có \({0^{\rm{o}}} \le \left( {IA;IB} \right) \le {90^{\rm{o}}}\) nên \({\left( {IA;IB} \right)_{\max }} = {90^{\rm{o}}}\)\( \Leftrightarrow IA \bot IB\).

Từ đó suy ra \(d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \frac{1}{2}AB\)\( = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{\sqrt {2{m^2} + 6m + 6} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \)\(2{m^2} + 6m = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  – 3\end{array} \right.\). Vậy \(T = \left\{ { – 3;0} \right\}\). Tổng các phần tử của tập hợp \(T\) bằng \( – 3\).

================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)