Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {0;0;5} \right)\), đi qua \(O\) và \(\left( N \right)\) là hình nón ngoại tiếp với \(\left( S \right)\). Biết rằng đáy của \(\left( N \right)\) nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(O\). Khi \(\left( N \right)\) có thể tích bé nhất, điểm nào sau đây nằm trên đường tròn đáy của \(\left( N \right)\)?
A. \(A\left( {10;0;0} \right)\).
B. \(B\left( {9;0;0} \right)\).
C. \(C\left( {8;0;0} \right)\).
D. \(D\left( {7;0;0} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\(\left( N \right)\) có bán kính \(r\) và chiều cao \(h\). \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = IO = 5.\)
Ta có: \( \Rightarrow \frac{{BI}}{{OC}} = \frac{{AI}}{{AC}} \Rightarrow \frac{R}{r} = \frac{{h – R}}{{\sqrt {{r^2} + {h^2}} }} \Rightarrow \frac{{{R^2}}}{{{r^2}}} = \frac{{{h^2} – 2Rh + {R^2}}}{{{r^2} + {h^2}}}\)
\( \Rightarrow {r^2} = \frac{{{R^2}h}}{{h – 2R}}\). \(\left( N \right)\) có thể tích \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \frac{{{R^2}{h^2}}}{{h – 2R}}.\)
\(V’ = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{R^2}{h^2} – 4{R^3}h}}{{{{\left( {h – 2R} \right)}^2}}}.\,\,V’ = 0 \Leftrightarrow h = 4R.\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(V\) nhỏ nhất khi \(h = 4R\), khi đó \(r = 2R.\) Điểm nằm trên đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) sẽ nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và cách \(O\) một khoảng bằng 10, vậy điểm đó là \(A\left( {10;0;0} \right)\).
================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời