Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình\(\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\) có tâm là \(I\) và bán kính \(R\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Hình nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(A\) nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) và có chiều cao \(h\). Thể tích khối nón được tạo nên bởi \(\left( N \right)\) có giá trị lớn nhất thì \(h\) thuộc khoảng nào sau đây?
A. \(h \in \left( {6;\,7} \right)\).
B. \(h \in \left( {7;\,8} \right)\).
C. \(h \in \left( {5;\,6} \right)\).
D. \(h \in \left( {8;\,9} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \(\left( S \right)\)có bán kính \(R = 5\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A\) trên \(\left( P \right)\).
Gọi \(r\,\left( {0 < r \le R} \right)\) bán kính đáy của hình nón, \(h\) chiều cao của hình nón. Để thể tích của khối nón lớn nhất thì \(h \ge R\) vì nếu \(h < R\) thì lấy đối xứng đường tròn đáy của hình nón qua tâm \(I\), ta có bán kính đáy giữ nguyên nhưng chiều cao tăng lên). Suy ra \(R \le h < 2R,IH = h – R\).
Ta có \({r^2} = {R^2} – I{H^2} = {R^2} – {\left( {h – R} \right)^2} = 2Rh – {h^2}\).
Thể tích khối nón \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}h.\left( {2Rh – {h^2}} \right).\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(h.h.\left( {4R – 2h} \right) \le {\left( {\frac{{h + h + 4R – 2h}}{3}} \right)^3} = {\left( {\frac{{4R}}{3}} \right)^3} \Rightarrow {h^2}\left( {2R – h} \right) \le \frac{1}{2}{\left( {\frac{{4R}}{3}} \right)^3}\).
Do đó khối nón \(\left( N \right)\) có thể tích lớn nhất khi \(h = 4R – 2h \Leftrightarrow h = \frac{4}{3}R = \frac{{20}}{3} \in \left( {6;\,7} \right)\).
================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời