DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(({S_1}):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 2z + 2 = 0\) và \(({S_2}):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 2z – 4 = 0\). Xét tứ diện \(ABCD\) có hai đỉnh \(A\), \(B\) nằm trên \(({S_1})\); hai đỉnh \(C\), \(D\) nằm trên \(({S_2})\). Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) có giá trị lớn nhất bằng.
A. \(3\sqrt 2 \).
B. \(2\sqrt 3 \).
C. \(6\sqrt 3 \).
D. \(6\sqrt 2 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \(({S_1})\) có tâm \(I(1\,;\, – 2\,;\,1)\) và bán kính là \({R_1} = 2\).
Mặt cầu \(({S_2})\) có tâm \(I(1\,;\, – 2\,;\,1)\) và bán kính là \({R_2} = \sqrt {10} \).
Gọi \(a\), \(b\) lần lượt là khoảng cách từ tâm \(I\) đến hai đường thẳng \(AB\), \(CD\).
Ta có \(AB = 2\sqrt {R_1^2 – {a^2}} = 2\sqrt {4 – {a^2}} \), \(CD = 2\sqrt {R_2^2 – {b^2}} = 2\sqrt {10 – {b^2}} \)
\(d(AB,CD) \le d(I,AB) + d(I,CD) = a + b\).
Thêm nữa: \(\sin (AB,CD) \le 1.\)
Ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).\sin (AB,CD) \le \frac{2}{3}(a + b)\sqrt {4 – {a^2}} \sqrt {10 – {b^2}} \).
Ta có: \(a + b = a + \sqrt 2 \frac{b}{{\sqrt 2 }} \le \sqrt 3 \sqrt {{a^2} + \frac{{{b^2}}}{2}} \)
và \(\left( {{a^2} + \frac{{{b^2}}}{2}} \right)\left( {4 – {a^2}} \right)\left( {5 – \frac{{{b^2}}}{2}} \right) \le {\left( {\frac{{{a^2} + \frac{{{b^2}}}{2} + 4 – {a^2} + 5 – \frac{{{b^2}}}{2}}}{3}} \right)^3} = 27\).
Vậy \({V_{ABCD}} \le \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 2 .\sqrt {27} = 6\sqrt 2 \).
Dấu bằng đạt được khi \(a = 1\), \(b = 2\) và hai đường \(AB,CD\) vuông góc với nhau.
=================
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời