Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0\;;\;8\;;\;2} \right)\) và mặt cầu (S) có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 72\)và điểm \(B\left( {9\;;\; – 7\;;\;23} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\)sao cho khoảng cách từ \(B\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất. Giả sử \(\overrightarrow n = \left( {1\;;\;m\;;\;n} \right)\) là một véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\), hãy tính tích \(m.n\) biết \(m\,,\,n\) là các số nguyên.

A. \(m.n = 2\).

B. \(m.n = – 2\).

C. \(m.n = 4\).

D. \(m.n = – 4\).

Lời giải:

Chọn D

Mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm \(I(5\;;\; – 3\;;\;7)\)và bán kính \(R = 6\sqrt 2 \).

\(\overrightarrow {IA} = \left( { – 5\,;\,11;\,\, – 5} \right)\) \( \Rightarrow IA = \sqrt {171} > 6\sqrt 2 \) nên điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu.

\(\overrightarrow {IB} = \left( {4\,;\, – 4\,;\,16} \right)\) \( \Rightarrow IB = 12\sqrt 2 > 6\sqrt 2 \) nên điểm \(B\) nằm ngoài mặt cầu.

\(A\),\(I\),\(B\) không thẳng hàng. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\) nên khi \(\left( P \right)\) thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua \(A\) và tiếp điểm tạo thành hình nón

Gọi \((AB,(P)) = \alpha \Rightarrow d\left( {B\,,\,\left( P \right)} \right) = A

B.\sin \alpha \) đạt giá trị lớn nhất khi \(A,B,I,H\) đồng phẳng\( \Leftrightarrow \left( {AIB} \right) \bot \left( P \right)\).( \(H\)là hình chiếu của \(B\)lên \((P)\))

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1\;;\;m\;;\;n} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình:

\(x + my + nz – 8m – 2n = 0\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\)\( \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {5n – 11m + 5} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {5n – 11m + 5} \right)^2} = 72\left( {1 + {m^2} + {n^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 49{m^2} – 47{n^2} – 110mn + 50n – 110m – 47 = 0\quad \left( 1 \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {IA} \,,\,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {156\,;\,70\,;\, – 24} \right)\).

Gọi \({\overrightarrow n _{_1}}\) là véc tơ pháp tuyến của mp \(\left( {AIB} \right)\), chọn \({\overrightarrow n _{_1}} = (13\,;\,5\,;\, – 2).\)

Do \(\left( {AIB} \right) \bot \left( P \right) \Leftrightarrow {\overrightarrow n _{_1}}.\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow 13 + 5m – 2n = 0\quad \left( 2 \right)\).

_{Thế (2) vào (1) ta được phương trình:}

\(2079{m^2} + 8910m + 6831 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = \frac{{ – 6831}}{{2079}}\, \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.\). Vậy \(m = – 1\).

Thay \(m = – 1\) vào (2) suy ra \(n = 4.\)

Vậy \(m.n = – 4\).