Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\), \(\left( {{S_2}} \right)\) lần lượt có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 2y + 6z – 22 = 0\), \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x – 4y + 2z + 5 = 0\). Xét các mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc cả hai mặt cầu đã cho. Gọi \(A\left( {a;\,b;\,c} \right)\) là điểm mà tất cả các mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua. Tính giá trị biểu thức \(S = a – 2b + 3c\).

A. \(\frac{3}{2}\).

B. \(9\).

C. \( – \frac{3}{2}\).

D. \( – 9\).

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\)có tâm \(I\left( {2;\,1;\, – 3} \right)\) và bán kính \({R_1} = 6\).

Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\)có tâm \(E\left( {4;\,2;\, – 1} \right)\) và bán kính \({R_2} = 4\).

Ta có \(\overrightarrow {IE} = \left( {2;\,1;\,2} \right)\)\( \Rightarrow IE = 3\)\( \Rightarrow {R_1} – {R_2} < IE < {R_1} + {R_2}\). Vậy \(\left( {{S_1}} \right)\), \(\left( {{S_2}} \right)\) là hai mặt cầu cắt nhau.

\( \Rightarrow A\) là tâm tỉ cự của hai mặt cầu.

Ta có: \(\frac{{AI}}{{AE}} = \frac{{IG}}{{EH}} = \frac{3}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AE} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 – a = 6 – \frac{3}{2}a\\1 – b = 3 – \frac{3}{2}b\\ – 3 – c = – \frac{3}{2} – \frac{3}{2}c\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 4\\c = 3\end{array} \right.\).

Vậy: \(S = a – 2b + 3c = 9\).