Trong không gian \({\rm{O}}xyz\) cho 2 đường thẳng d; d’ và mặt phẳng (P). Biết rằng đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), cắt các đường thẳng \(d,\,\;d’\) lần lượt tại \(M,\;N\) sao cho \(MN = \sqrt 2 \) ( điểm \(M\) không trùng với gốc tọa độ \(O\) ). Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là

Trong không gian \({\rm{O}}xyz\) cho 2 đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ – 2}}\), \(d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1 – 2t}\\{y = t\;\quad \quad }\\{z = – 1 – t\;\;}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – y – z = 0\). Biết rằng đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), cắt các đường thẳng \(d,\,\;d’\) lần lượt tại \(M,\;N\) sao cho \(MN = \sqrt 2 \) ( điểm \(M\) không trùng với gốc tọa độ \(O\) ). Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{4}{7} + 3t}\\{y = – \frac{4}{7} + 8t}\\{z = – \frac{8}{7} – 5t}\end{array}} \right.\). B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – \frac{4}{7} + 3t}\\{y = \frac{4}{7} + 8t}\\{z = – \frac{8}{7} – 5t}\end{array}} \right.\). C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{7} + 3t}\\{y = – \frac{4}{7} + 8t}\\{z = – \frac{3}{7} – 5t}\end{array}} \right.\). D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{7} + 3t}\\{y = – \frac{4}{7} + 8t}\\{z = – \frac{8}{7} – 5t}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Phương trình tham số của \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = t}\\{z = – 2t}\end{array}} \right..\)\(M\left( {a\,;a\,; – 2a} \right) \in d\), \(N\left( { – 1 – 2b\,;b\,; – 1 – b} \right) \in d’\).
\(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1 – 2b – a\,;b – a\,; – 1 – b + 2a} \right)\); Một vectơ pháp tuyến của của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {1; – 1; – 1} \right)\).
Ta có \(\Delta {\rm{//}}(P) \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow – 2a – 2b = 0 \Leftrightarrow a = – b \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { – 1 – b\,;2b\,; – 1 – 3b} \right)\)
\(MN = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt {14{b^2} + 8b + 2} = \sqrt 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0}\\{b = – \frac{4}{7}}\end{array}} \right.\).
Vì điểm \(M\) không trùng với gốc tọa độ \(O\) nên \(b = – \frac{4}{7} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{N\left( {\frac{1}{7}; – \frac{4}{7}; – \frac{3}{7}} \right)}\\{\overrightarrow {MN} = \left( { – \frac{3}{7}; – \frac{8}{7};\frac{5}{7}} \right)}\end{array}} \right.\).
Suy ra \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương của \(\vec u = – 7\overrightarrow {MN} = \left( {3\,;8\,;5} \right)\) và \(\Delta \) đi qua \(N\left( {\frac{1}{7}; – \frac{4}{7}; – \frac{3}{7}} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{7} + 3t}\\{y = – \frac{4}{7} + 8t}\\{z = – \frac{3}{7} – 5t}\end{array}} \right.\).