Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y – z + 4 = 0\) và các điểm \(A\left( {2;1;\,2} \right)\), \(B\left( {3;\, – 2;\,2} \right).\) Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho các đường thẳng \(MA\), \(MB\) luôn tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm \(M\) luôn thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) cố định. Tìm tọa độ tâm của đường tròn \(\left( C \right).\)
A. \(\left( {\frac{{74}}{{27}};\, – \frac{{97}}{{27}};\,\frac{{62}}{{27}}} \right)\).
B. \(\left( {\frac{{10}}{3};\, – 3;\,\frac{{14}}{3}} \right)\).
C. \(\left( {\frac{{17}}{{21}};\, – \frac{{17}}{{21}};\,\frac{{17}}{{21}}} \right)\).
D. \(\left( {\frac{{32}}{9};\, – \frac{{49}}{9};\,\frac{2}{9}} \right)\).
Lời giải
Cách 1:
Gọi \(H\), \(K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\),\(B\) trên \(\left( P \right).\)
Khi đó ta có \(\widehat {AMH} = \widehat {BMK}\). Suy ra
\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}} = 2 \Rightarrow MA = 2MB.\)
Gọi \(M\left( {x;\,y;\,z} \right).\) Khi đó ta có:
\(MA = 2MB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2} + {{\left( {z – 2} \right)}^2}} = 2\sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} + {{\left( {z – 2} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – \frac{{20}}{3}x + 6y – 4z + \frac{{59}}{3} = 0{\rm{ }}\left( S \right).\)
Suy ra \(M\) thuộc đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) với mặt cầu \(\left( S \right).\) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {\frac{{10}}{3};\, – 3;\,2} \right).\)
Tâm \(H\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right).\)
Từ đó ta tìm được \(H\left( {\frac{{74}}{{27}};\, – \frac{{97}}{{27}};\,\frac{{62}}{{27}}} \right)\).
Cách 2:
Gọi \(H\), \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\), \(B\) lên \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \widehat {AMH} = \widehat {BMK}\).
Ta có: \(AH = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4 + 2 – 2 + 4} \right|}}{3} = \frac{8}{3};BK = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {6 – 4 – 2 + 4} \right|}}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow AH = 2.BK\)
\( \Rightarrow HM = 2.MK\) .\(\)
Lấy điểm \(I\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(K\); \(E\) thuộc đoạn \(HK\) sao cho \(HE = 2KE\); \(F\) thuộc đoạn \(KI\) sao cho \(FI = 2KF\).
Khi đó: \(A\), \(B\), \(I\), \(H\), \(E\), \(K\), \(F\)đều là các điểm cố định.
* Ta chứng minh: \(M\) di chuyển trên đường tròn tâm \(F\), đường kính \(IE\):
Gọi \(N\) là điểm đối xứng của \(M\)qua\(K\) \( \Rightarrow \Delta HMN\) cân tại \(M\).
\(E\) nằm trên trung tuyến \(HK\)và \(HE = \frac{2}{3}HK \Rightarrow \)\(E\) là trọng tâm \(\Delta HMN\)\( \Rightarrow ME \bot HN\).
Mà \(HN{\rm{//}}MI \Rightarrow ME \bot MI\).
Dễ dàng chứng minh \(F\) là trung điểm của \(EI\)
\( \Rightarrow \) \(M\)di chuyển trên đường tròn tâm \(F\) đường kính \(EI\) .
* Tìm tọa độ điểm \(F\):
Phương trình đường cao \(AH\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + 2t\\z = 2 – t\end{array} \right.\).
Khi đó ta gọi \(H\left( {2 + 2{t_1};\,1 + 2{t_1};\,2 – {t_1}} \right) \in AH\).
Ta có: \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {2 + 2{t_1}} \right) + 2\left( {1 + 2{t_1}} \right) – \left( {2 – {t_1}} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {t_1} = – \frac{8}{9}\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{2}{9};\, – \frac{7}{9};\,\frac{{26}}{9}} \right)\).
Phương trình đường cao \(BK\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = – 2 + 2t\\z = 2 – t\end{array} \right.\).
Khi đó ta gọi \(K\left( {3 + 2{t_2};\, – 2 + 2{t_2};\,2 – {t_2}} \right)\).
\(K \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {3 + 2{t_2}} \right) + 2\left( { – 2 + 2{t_2}} \right) – \left( {2 – {t_2}} \right) + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {t_2} = – \frac{4}{9} \Rightarrow K\left( {\frac{{19}}{9};\,\frac{{ – 26}}{9};\,\frac{{22}}{9}} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {HF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {HK} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_F} – \frac{2}{9} = \frac{4}{3}.\frac{{17}}{9}\\{y_F} + \frac{7}{9} = \frac{4}{3}.\frac{{ – 19}}{9}\\{z_F} – \frac{{26}}{9} = \frac{4}{3}.\frac{{ – 4}}{9}\end{array} \right. \Rightarrow F\left( {\frac{{74}}{{27}};\,\frac{{ – 97}}{{27}};\,\frac{{62}}{{27}}} \right)\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ
Để lại phản hồi