Trong không gian \(Oxyz\),cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2z – 2 = 0\) và các điểm \(A\left( {0\,;1;\,1} \right)\), \(B\left( { – 1; – 2; – 3} \right)\),\(C\left( {1;0; – 3} \right)\). Điểm \(D\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Thể tích tứ diện \(ABCD\) lớn nhất bằng

A. \(\frac{{16}}{3}\).

B. \(9\).

C. \(\frac{8}{3}\).

D. \(7\).

Lời giải:

Ta có\(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { – 1; – 3; – 4} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {1; – 1; – 4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {8; – 8;4} \right).\)

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right) \in \left( S \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\\\overrightarrow {AD} = \left( {x\,;y – 1\,;z – 1} \right)\end{array} \right..\)

Ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}\left| {8x – 8y + 4z + 4} \right| = \frac{2}{3}\left| {2x – 2y + z + 1} \right|\).

Ta có:\(\left| {2x – 2y + z + 1} \right| = \left| {2.\left( {x – 1} \right) – 2.y + 1.\left( {z + 1} \right) + 2} \right|\)

Ta có:\(\left| {2\left( {x – 1} \right) – 2y + z + 1} \right| \le \sqrt {\left( {{2^2} + {2^2} + {1^2}} \right)} \left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2}} \right] = 6\)

\( \Rightarrow – 6 \le 2\left( {x – 1} \right) – 2y + z + 1 \le 6 \Leftrightarrow – 4 \le 2x – 2y + z + 1 \le 8\)

\( \Rightarrow \left| {2x – 2y + z + 1} \right| \le 8 \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \frac{{16}}{3}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(max{V_{ABCD}} = \frac{{16}}{3}\) xảy ra khi và chỉ khi\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 2}} = \frac{{z + 1}}{1} > 0\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {\frac{7}{3}; – \frac{4}{3}; – \frac{1}{3}} \right)\).