ĐỀ BÀI:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\), điểm \(N\left( {6;8;0} \right)\) và điểm \(M\) là một điểm thuộc \(\left( P \right):z – 3\sqrt 2 = 0\). Từ \(M\) vẽ các tiếp tuyến \(MA,{\rm{ }}MB,{\rm{ }}MC\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) (\(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) là các tiếp điểm). Khi thể tích của khối nón có đỉnh O và đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị nhỏ nhất MN.
A. \(\sqrt {21} .\)
B. \(\sqrt {67} .\)
C. \(\sqrt {61} .\)
D. \(\sqrt {29} .\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dễ thấy mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là O và bán kính \(R = 3\).
Gọi \(H = OM \cap \left( {ABC} \right) \Rightarrow OM \bot \left( {ABC} \right)\).
Xét tam giác vuông OAM:
Đặt \(OM = x\). Vì \(M \in \left( P \right) \Rightarrow OM \ge d\left( {O,\left( P \right)} \right) = 3\sqrt 2 \Rightarrow x \ge 3\sqrt 2 \).
Ta có: \(OH.OM = O{A^2} \Rightarrow OH = \frac{{O{A^2}}}{{OM}} = \frac{9}{x}\)
\(A{H^2} = O{A^2} – O{H^2} = 9 – \frac{{81}}{{{x^2}}}\)
Từ đó suy ra thể tích khối nón đỉnh O là:
\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.OH = \frac{1}{3}\pi \left( {9 – \frac{{81}}{{{x^2}}}} \right).\frac{9}{x} = 27\pi \frac{1}{x}\left( {1 – \frac{9}{{{x^2}}}} \right)\)
Đặt \(t = \frac{1}{x} \Rightarrow t \le \frac{1}{{3\sqrt 2 }} < \frac{1}{3}.\)
Khi đó \(V = 27\pi t\left( {1 – 9{t^2}} \right)\)
Áp dụng Bất đẳng thức Cô- si cho 3 số dương ta có:
\(18{t^2}\left( {1 – 9{t^2}} \right).\left( {1 – 9{t^2}} \right) \le {\left( {\frac{{18{t^2} + 1 – 9{t^2} + 1 – 9{t^2}}}{3}} \right)^3} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{27}}\)
Từ đó suy ra: \(18{t^2}{\left( {1 – 9{t^2}} \right)^2} \le \frac{8}{{27}} \Rightarrow t\left( {1 – 9{t^2}} \right) \le \frac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\)
Suy ra: \({\rm{max}}V = 27\pi .\frac{{2\sqrt 3 }}{{27}} = 2\pi \sqrt 3 \Leftrightarrow 18{t^2} = 1 – 9{t^2} \Leftrightarrow {t^2} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow x = 3\sqrt 3 \)
Gọi \({O_1}\) là hình chiếu của O trên mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow {O_1}\left( {0;0;3\sqrt 2 } \right)\).
Xét tam giác vuông \(O{O_1}M\) tại \({O_1}\).
Ta có: \({O_1}{M^2} = O{M^2} – O{O_1}^2 = 27 – 18 = 9 \Rightarrow {O_1}M = 3\)
Suy ra: Tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm \({O_1}\) bán kính \({R_1} = 3\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Gọi K là hình chiếu vuông góc của N trên \(\left( P \right) \Rightarrow K\left( {6;8;3\sqrt 2 } \right)\) và \(NK = d\left( {N,\left( P \right)} \right) = 3\sqrt 2 \).
Ta có: \({O_1}K = 10\)
Xét tam giác MNK vuông tại K
Ta có:
\(M{N^2} = N{K^2} + M{K^2} \ge {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {{O_1}K – {R_1}} \right)^2} = 18 + {\left( {10 – 3} \right)^2} = 67\)
Vậy: \(\min MN = \sqrt {67} \).
===========
Trả lời