. Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 27\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0\,;\,0\,;\, – 4} \right)\), \(B\left( {2\,;\,0\,;\,0} \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) và đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất. Biết rằng \(\left( P \right)\) có dạng \(\left( P \right):ax + by – z + c = 0\). Khi đó \(2a + b + c\) bằng
A. \( – 2\).
B. \(2\).
C. \(0\).
D. \( – \frac{1}{2}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;2;1} \right)\) bán kính là \(R = \sqrt {27} \).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {0\,;\,0\,;\, – 4} \right)\), \(B\left( {2\,;\,0\,;\,0} \right)\) nên \(c = – 4\); \(a = 2\).
Khi đó phương trình mặt phẳng là: \(2x + by – z – 4 = 0\).
Gọi \(h\), \(r\) là chiều cao và bán kính đáy của hình nón
Ta có \(d\left( {I\,;\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 2b – 5} \right|}}{{\sqrt {{b^2} + 5} }} = h\).
Mặt khác: \({r^2} = {R^2} – {h^2} = 27 – {h^2}\)
Khi đó thể tích khối nón là \(V = \frac{1}{3}h\pi {r^2} = \frac{\pi }{3}h\left( {27 – {h^2}} \right) = \frac{\pi }{3}\left( {27h – {h^3}} \right)\)
\( \Rightarrow V’ = \frac{\pi }{3}\left( {27 – 3{h^2}} \right) = 0 \Rightarrow h = 3\)
Bảng biến thiên:
Ta có \({V_{{\rm{max}}}} = 18\pi \Leftrightarrow h = 3\). Suy ra \(\frac{{\left| {2b – 5} \right|}}{{\sqrt {{b^2} + 5} }} = 3 \Rightarrow b = – 2\)
Vậy \(2a + b + c = – 2\).
================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Để lại phản hồi