Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\):\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 27\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;0; – 4} \right),B\left( {2;0;0} \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\) và đáy là \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất. Biết phương trình của \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(ax + by – z + c = 0,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\). Giá trị của \(a – b + c\) bằng

A. \( – 4\).

B. 0.

C. 8.

D. 2.

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;\, – 2;\,3} \right)\) và bán kính \(R = 3\sqrt 3 \).

Điểm \(A\left( {0;0; – 4} \right) \in \left( \alpha \right) \Rightarrow 4 + c = 0 \Rightarrow c = – 4\).

Điểm \(B\left( {2;0;0} \right) \in \left( \alpha \right) \Rightarrow 2a + c = 0 \Rightarrow a = – \frac{c}{2} = 2\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(2x + by – z – 4 = 0\).

Gọi \(d\) là khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(r\) là bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\).

Khi đó khối nón có đỉnh \(I\) và đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) có thể tích là:

\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}d = \frac{1}{3}\pi \left( {{R^2} – {d^2}} \right)d = \frac{1}{3}\pi \left( {27 – {d^2}} \right)d\)

Đặt \(f\left( d \right) = \left( {27 – {d^2}} \right)d = – {d^3} + 27d,\,\,\left( {0 < d < 3\sqrt 3 } \right)\).

Suy ra \(f’\left( d \right) = – 3{d^2} + 27\) và \(f’\left( d \right) = 0 \Leftrightarrow – 3{d^2} + 27 = 0 \Leftrightarrow d = 3\)(vì \(0 < d < 3\sqrt 3 \)).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f\left( d \right)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(d = 3\) hay thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất khi \(d = 3 \Leftrightarrow {d^2} = 9\).

Mà \(d = d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| { – 5 – 2b} \right|}}{{\sqrt {5 + {b^2}} }}\) nên \(\frac{{{{\left( { – 5 – 2b} \right)}^2}}}{{5 + {b^2}}} = 9 \Leftrightarrow 5{b^2} – 20b + 20 = 0 \Leftrightarrow b = 2\).

Vậy \(a – b + c = – 4\).

—————-