Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\) và các điểm \(A\left( {1\,;\,0\,;\,2} \right)\), \(B\left( { – 1\,;\,2\,;\,2} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\), \(B\). Khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\), đường tròn đáy là thiết diện của \(\left( P \right)\) với mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho khối nón \(\left( N \right)\) có diện tích đáy nhỏ nhất. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường tròn đáy có dạng \(\left( P \right):ax + by + cz + 3 = 0\). Tính \(T = a + 2b + 3c\).
A. \( – 6\).
B. \(6\).
C. \(0\).
D. \( – 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\) bán kính là \(R = 5\).
Ta có \(A\), \(B\) nằm trong mặt cầu. Gọi \(K\) là hình chiếu của \(I\) trên \(AB\) và \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên thiết diện.
Ta có diện tích thiết diện bằng \(S = \pi {r^2} = \pi \left( {{R^2} – I{H^2}} \right)\).
Do đó diện tích thiết diện của đường tròn đáy nhỏ nhất khi \(IH\) lớn nhất. Mà \(IH \le IK\) suy ra \(\left( P \right)\) qua \(A,B\) và vuông góc với \(IK\).
Ta có \(IA = IB = \sqrt 5 \) suy ra \(K\) là trung điểm của \(AB\).
Vậy \(K\left( {0\,;\,1\,;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {KI} = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).
Vậy \(\left( P \right):\left( {x – 1} \right) + y + \left( {z – 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow – x – y – z + 3 = 0\).
Vậy \(T = – 6\).
================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Để lại phản hồi