Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 15\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {0;\,0;\, – 4} \right)\), song song với đường thẳng \(\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 2\\z = 4 + 2t\end{array} \right.\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\) và đáy là đường tròn \(\left( C \right)\), có thể tích lớn nhất. Biết rằng \(\left( \alpha  \right):ax + by – z + c = 0\). Khi đó \(a + 2b + c\) bằng

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay) ===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 15\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {0;\,0;\, – 4} \right)\), song song với đường thẳng \(\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 2\\z = 4 + 2t\end{array} \right.\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\) và đáy là đường tròn \(\left( C \right)\), có thể tích lớn nhất. Biết rằng \(\left( \alpha  \right):ax + by – z + c = 0\). Khi đó \(a + 2b + c\) bằng

A. \(6\). 

B. \(8\). 

C. \(1\). 

D. \(3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; – 1;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {15} \).

Vì \(\left( \alpha  \right):ax + by – z + c = 0\) đi qua điểm \(A\left( {0;\,0;\, – 4} \right)\) nên \(c =  – 4\) và song song với \(\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) nên \(a = 2\). Suy ra \(\left( \alpha  \right):2x + by – z – 4 = 0\).

Đặt \(IH = x\), với \(0 < x < \sqrt {15} \) ta có \(r = \sqrt {{R^2} – {x^2}} \)\( = \sqrt {15 – {x^2}} \).

Thể tích khối nón là \(V = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}IH\)\( = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}\left( {15 – {x^2}} \right)x\)\( = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}{\rm{\pi }}\sqrt {\left( {15 – {x^2}} \right).\left( {15 – {x^2}} \right).2{x^2}} \)

Ta có: \({V^2} = \frac{1}{{18}}{{\rm{\pi }}^2}.\left( {15 – {x^2}} \right).\left( {15 – {x^2}} \right).2{x^2}\)\( \le \frac{1}{{18}}{\pi ^2}.{\left( {\frac{{2\left( {15 – {x^2}} \right) + 2{x^2}}}{3}} \right)^3} = \frac{{{{10}^3}}}{{18}}{\pi ^2}\) \( \Rightarrow V \le \frac{{10}}{3}\sqrt 5 \pi \)

\({V_{\max }} = \frac{{10}}{3}\sqrt 5 \pi \) khi \(15 – {x^2} = 2{x^2}\)\( \Leftrightarrow x = \sqrt 5 \).

Khi đó, \(d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\)\( = \frac{{\left| {b + 5} \right|}}{{\sqrt {{b^2} + 5} }} = \sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow 4{b^2} – 10b = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).

Với \(b = 0 \Rightarrow \left( \alpha  \right):2x – z – 4 = 0\), khi đó \(\Delta  \subset \left( \alpha  \right)\) 

Với \(b = \frac{5}{2}\) \( \Rightarrow \left( \alpha  \right):2x + \frac{5}{2}y – z – 4 = 0\), khi đó \(\Delta //\left( \alpha  \right)\) thỏa yêu cầu bài toán

Vậy \(a + 2b + c = 6\).

================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)