Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0;2;0} \right)\). Xét khối chóp đều \(A.BCD\) có \(B,\,\,C,\,\,D\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích lớn nhất, mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) có phương trình dạng \(x + by + cz + d = 0\). Giá trị của \(b + c + d\) bằng

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay) ===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0;2;0} \right)\). Xét khối chóp đều \(A.BCD\) có \(B,\,\,C,\,\,D\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích lớn nhất, mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) có phương trình dạng \(x + by + cz + d = 0\). Giá trị của \(b + c + d\) bằng

A. \( – 2\). 

B. \(1\). 

C. \( – 1\). 

D. \(2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = IA = \sqrt 3 \)

Gọi \(H,\,K\) lần lượt là tâm của tam giác đều \(BCD\) và trung điểm \(AB\).

Nhận thấy \(\Delta AKI\) và \(\Delta AHB\) là các tam giác vuông đồng dạng \( \Rightarrow \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AB}} \Leftrightarrow A{B^2} = 2\sqrt 3 AH \Leftrightarrow B{H^2} = 2\sqrt 3 AH – A{H^2}\)

Khi đó \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}AH.\frac{{3\sqrt 3 B{H^2}}}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}AH\left( {2\sqrt 3 AH – A{H^2}} \right)\)

Đặt \(x = AH\,\,\left( {0 < x < 2\sqrt 3 } \right)\)

Xét hàm số \(f(x) = x\left( {2\sqrt 3 x – {x^2}} \right) =  – {x^3} + 2\sqrt 3 {x^2}\)

Ta có: \(f'(x) =  – 3{x^2} + 4\sqrt 3 x;\,\,\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,(KTM)\\x = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Ta thấy \(f(x)\) lớn nhất khi \(AH = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Khi \(AH = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {AI}  \Rightarrow H\left( {\frac{4}{3};\,\frac{2}{3};\,\frac{4}{3}} \right)\)

Khi đó mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua \(H\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AI}  = \left( {1; – 1;1} \right)\) nên có PT: \(x – \frac{4}{3} – \left( {y – \frac{2}{3}} \right) + z – \frac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow x – y + z – 2 = 0\)

Vậy \(b =  – 1;\,c = 1;\,d =  – 2;\,\,b + c + d =  – 2\).

================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)