ĐỀ BÀI:
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) và \(B\left( {6;5;5} \right)\). Xét khối nón \(\left( N \right)\)có đỉnh\(A\), đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính\(AB\). Khi \(\left( N \right)\)có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\)có phương trình dạng \(2x + by + cz + d = 0\). Giá trị của \(b + c + d\)bằng
A. \( – 21\).
B. \( – 12\).
C. \( – 18\).
D. \( – 15\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\(\overrightarrow {AB} = \left( {4;4;2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} = 6\). Bán kính mặt cầu đường kính \(AB\) là \(R = \frac{{AB}}{2} = 3\).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\). Do \(AB \bot \left( P \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right)\).
Đặt \(AH = h\). Ta có: \(r = \sqrt {{R^2} – I{H^2}} = \sqrt {{R^2} – {{\left( {h – R} \right)}^2}} = \sqrt {6h – {h^2}} \).
Thể tích của khối nón\(\left( N \right)\)là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \left( {6h – {h^2}} \right)h = \frac{1}{6}\pi .h.h.\left( {12 – 2h} \right)\).
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: \(h.h.\left( {12 – 2h} \right) \le {\left( {\frac{{h + h + 12 – 2h}}{3}} \right)^3} = 64\) nên \(V \le \frac{{32\pi }}{3}\).
Thể tích của khối nón \(\left( N \right)\) lớn nhất bằng \(\frac{{32\pi }}{3}\) khi \(h = 12 – 2h \Leftrightarrow h = 4\).
Giả sử\(H\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\)
\(\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} – 2 = \frac{8}{3}\\{y_0} – 1 = \frac{8}{3}\\{z_0} – 3 = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{14}}{3}\\{y_0} = \frac{{11}}{3}\\{z_0} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{14}}{3};\frac{{11}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua điểm \(H\left( {\frac{{14}}{3};\frac{{11}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right)\) nên có phương trình: \(2\left( {x – \frac{{14}}{3}} \right) + 2\left( {y – \frac{{11}}{3}} \right) + 1\left( {z – \frac{{13}}{3}} \right) = 0\) hay \(2x + 2y + z – 21 = 0\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b = 2\\c = 1\\d = – 21\end{array} \right.\). Vậy \(b + c + d = – 18\).
===========
Trả lời