Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 12\) và điểm \(A\left( {4\,;\,4\,;\,0} \right)\). Gọi \(B\,\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\)là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(B\) và diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(4\sqrt 3 \), (với \(O\) là gốc tọa độ). Khi đó \(a + b + c\) bằng

Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 12\) và điểm \(A\left( {4\,;\,4\,;\,0} \right)\). Gọi \(B\,\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\)là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(B\) và diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(4\sqrt 3 \), (với \(O\) là gốc tọa độ). Khi đó \(a + b + c\) bằng

A. \(\frac{7}{2}\).

B. \(\frac{{15}}{4}\).

C. \(\frac{{15}}{2}\).

D. \(\frac{7}{4}\).

Lời giải:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AO \Rightarrow M\left( {2\,;\,2\,;\,0} \right)\) và \(BM \bot AO\) (do \(\Delta BOA\) cân tại \(B\)).

Ta có: \({S_{\Delta OAB}} = 4\sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2}BM.OA = 4\sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2}BM.4\sqrt 2 = 4\sqrt 3 \Leftrightarrow BM = \sqrt 6 \).

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\left( {2\,;\,2\,;\,0} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(OA \Rightarrow B \in \left( \alpha \right)\) và \(mp\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {OA} = \left( {4\,;\,4\,;\,0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình \(mp\left( \alpha \right)\) là: \(4\left( {x – 2} \right) + 4\left( {y – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y – 4 = 0\).

Gọi \(B\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}B \in \left( \alpha \right)\\B \in \left( S \right)\\BM = \sqrt 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b – 4 = 0\\{\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} + {\left( {c – 2} \right)^2} = 12\\{\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} + {c^2} = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 – b = 0\\c = – \frac{1}{2}\\{\left( {2 – b} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} + \frac{1}{4} = 6\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 4 – b\\c = – \frac{1}{2}\\{\left( {b – 2} \right)^2} = \frac{{23}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{8 – \sqrt {46} }}{4}\\c = – \frac{1}{2}\\b = \frac{{8 + \sqrt {46} }}{4}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{8 + \sqrt {46} }}{4}\\c = – \frac{1}{2}\\b = \frac{{8 – \sqrt {46} }}{4}\end{array} \right.\).

Vậy \(a + b + c = \frac{7}{2}\).

===========

Câu 44 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024