Trên nửa đường tròn đường kính \(AB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Tính thể tích vật thể tròn xoay tọa thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\)(phần gạch chéo trong hình) quay quanh đường thẳng \(AB\), biết \(AB = 4\)

DẠNG TOÁN KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – THỂ TÍCH HÌNH TRÒN XOAY – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Trên nửa đường tròn đường kính \(AB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Tính thể tích vật thể tròn xoay tọa thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\)(phần gạch chéo trong hình) quay quanh đường thẳng \(AB\), biết \(AB = 4\)

A. \(V = \frac{7}{3}\pi \). 

B. \(V = \frac{{53}}{3}\pi \). 

C. \(V = \frac{{32}}{3}\pi \). 

D. \(V = \frac{{14}}{3}\pi \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Phương trình đường tròn đường kính \(AB\): \({\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} = 4\).

Phương trình đường thẳng \(AC:y = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\).

Ta có \({V_{ABC}} = {V_{nonACH}} + {V_{c\hom cauBCH}}\).

Do \(\widehat A = 30^\circ  \Rightarrow \widehat {COB} = 60^\circ  \Rightarrow \Delta COB\) đều \( \Rightarrow CH = \frac{{CB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AB.\sin \widehat A.\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 .\)

\(HO = HB = 1,AH = 3\).

\({V_{nonACH}} = \frac{1}{3}\pi .AH.{\left( {CH} \right)^2} = \frac{1}{3}.\pi .3.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3\pi \).

\({V_{c\hom cauBCH}} = \pi \int\limits_3^4 {\left( {4 – {{\left( {x – 2} \right)}^2}} \right){\rm{d}}x = \frac{{5\pi }}{3}} \).

Vậy \(V = 3\pi  + \frac{{5\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{3}\).

===========