Biết\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^{2023}}x}}{{{{\sin }^{2023}}x + {{\cos }^{2023}}x}}{\rm{d}}x} = a\frac{\pi }{4} + b\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\) bằng A. \(1\). B. \(4\). C. \(5\). D. \(10\). Lời giải: Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^{2023}}x}}{{{{\sin }^{2023}}x + {{\cos }^{2023}}x}}{\rm{d}}x} \). Đặt \(x = […]
Trắc nghiệm Nguyên hàm
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\left( {1 + {e^x}} \right)\)là
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\left( {1 + {e^x}} \right)\)là A. \({x^2} + \left( {x – 1} \right){e^x} + C\). B. \(\frac{{{x^2}}}{2} + x{e^x} + C\). C. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \left( {1 – x} \right){e^x} + C\). D. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \left( {x – 1} \right){e^x} + C\). Lời giải: Ta có \(\int […]
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} – 2{\rm{ khi }}x \le 1\\2x – 1{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {1 – \sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x} \).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} – 2{\rm{ khi }}x \le 1\\2x – 1{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {1 – \sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x} \). A. \( – 1\). B. \( – 2\). C. \(2\). D. \(1\). Lời giải: Xét thấy \(f\left( […]
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}\) mà \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\). Giá trị \({F^2}\left( e \right)\) bằng
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}\) mà \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\). Giá trị \({F^2}\left( e \right)\) bằng A. \(\frac{1}{3}\). B. \(\frac{1}{9}\). C. \(\frac{8}{3}\). D. \(\frac{8}{9}\). Lời giải: Đặt \(I = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}} dx\) \(t […]
Bên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình).
Bên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục \(Ox\). A. \(V = \frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}.\) B. \(V = \frac{{5\pi }}{{16}}{a^3}.\) C. […]
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\int {f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{{2x}} + C} \). B. \(\int {f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{3}{x} + C} \). C. \(\int {f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C} \). D. \(\int {f(x)dx = 2{x^3} – \frac{3}{x} + C} \). […]
Tính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ – 4{x^4} + {x^2} – 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng
Tính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ – 4{x^4} + {x^2} – 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng A. \(20\). B. \(241\). C. \(48\). D. \(196\). Lời giải: Ta […]
Tích phân \(\int\limits_{ – 1}^1 {\left| x \right|.dx} \) bằng
Tích phân \(\int\limits_{ – 1}^1 {\left| x \right|.dx} \) bằng A. \(0\) . B. \(2\). C. \( – 1\). D. \(1\). Lời giải: Ta có \(\int\limits_{ – 1}^1 {\left| x \right|.dx} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left| x \right|.dx} + \int\limits_0^1 {\left| x \right|.dx} = \int\limits_{ – 1}^0 { – x.dx} + \int\limits_0^1 {x.dx} = \left. […]
Với mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục, nhận giá trị dương đồng thời thỏa mãn \(3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f’\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(f\left( 5 \right)\) bằng
Với mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục, nhận giá trị dương đồng thời thỏa mãn \(3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f’\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(f\left( 5 \right)\) bằng A. \(15\). B. \(20\). […]
Cho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng
Cho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng A. \(\frac{4}{3}\). B. \(16\). C. \(\frac{{26}}{3}\). D. \(8\). Lời giải: Cách 1: Gọi các điểm \(A,B,C,D\) như hình vẽ. Ta có \(\frac{{OB}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{OA}}{{DC}} = \frac{1}{5}\) mà \(OB + B{\rm{D}} = […]