Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{9^{{x^2} – 2x}} – {3^{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} + 3m} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) không lớn hơn \(2021\)?

Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{9^{{x^2} – 2x}} – {3^{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} + 3m} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) không lớn hơn \(2021\)?

A. \(673\). 

B. \(674\). 

C. \(1347\). 

D. \(1346\) .

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Hàm số đã cho xác định với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right]\).

Đặt \(t = {3^{{x^2} – 2x}}\) với \(t \in \left[ {\frac{1}{3};1} \right]\)

Hàm số trở thành \(y = f\left( t \right) = \left| {{t^2} – 3t + 3m} \right|\)

Xét hàm số \(y = g\left( t \right) = {t^2} – 3t + 3m\) có \(g’\left( t \right) = 2t – 3 < 0\), với mọi \(t \in \left[ {\frac{1}{3};1} \right]\).

Nên \(g\left( t \right)\) đơn điệu giảm trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{3};1} \right]\).

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) đạt được tại \(t = \frac{1}{3}\) hoặc \(t = 1\).

Ta có \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \left| {g\left( {\frac{1}{3}} \right)} \right| = \left| {3m – \frac{8}{9}} \right|\); \(f\left( 1 \right) = \left| {g\left( 1 \right)} \right| = \left| {3m – 2} \right|\).

+ Trường hợp 1: \(3m – \frac{8}{9} \le 0\)\( \Leftrightarrow m \le \frac{8}{{27}}\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{3};1} \right]} f\left( t \right) = \left| {3m – 2} \right| \le 2021\) \( \Leftrightarrow- \frac{{2019}}{3} \le m \le \frac{{2023}}{3}\) \( \Leftrightarrow- 673 \le m \le \frac{8}{{27}}\). Không có giá trị nguyên dương thỏa mãn.

+ Trường hợp 2: \(3m – 2 \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \ge \frac{2}{3}\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{3};1} \right]} f\left( t \right) = \left| {3m – \frac{8}{{27}}} \right| \le 2021\) \( \Leftrightarrow- 2021 \le 3m – \frac{8}{{27}} \le 2021\) \( \Leftrightarrow- \frac{{54559}}{{81}} \le m \le \frac{{54575}}{{81}} \approx 673,76\).

Có \(673\) giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn.

+ Trường hợp 3: \(\frac{8}{{27}} < m < \frac{2}{3}\) khi đó không tồn tại giá trị nguyên dương của \(m\).

Kết luận có \(673\) giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit