• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 12 / Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đánh giá AM-GM

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đánh giá AM-GM

Đăng ngày: 11/02/2020 Biên tâp: admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 12

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đánh giá AM-GM

==============
Vấn đề 12. Kỹ thuật đánh giá AM-GM.
==============

Câu 98
Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $[0; 1],$ thỏa mãn $f(1)=ef(0)$ và $\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{\mathrm{\,d}x}{f^2(x)}+\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x \leq 2$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f(1)=\sqrt{\dfrac{2\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}}$
$f(1)=\dfrac{2(\mathrm{e}-2)}{\mathrm{e}-1}$
$f(1)=\sqrt{\dfrac{2\mathrm{e}^2}{\mathrm{e}^2-1}}$
$f(1)=\sqrt{\dfrac{2(\mathrm{e}-2)}{\mathrm{e}-1}}$

Lời Giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{\mathrm{\,d}x}{f^2(x)}+\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 \left[\dfrac{1}{f^2(x)}+\left[f'(x)\right]^2\right]\mathrm{d}x\overset{AM-GM} \geq 2\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x$.
$=2\ln |f(x)|\bigg|_0^1 =2\ln |f(1)|-2\ln |f(0)|=2\ln \left|\dfrac{f(1)}{f(0)}\right|=2\ln \mathrm{e}=2$.
Mà $\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{\mathrm{\,d}x}{f^2(x)}+\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x \leq 2$ nên dấu $”=”$ xảy ra, tức là $f'(x)=\dfrac{1}{f(x)} \Leftrightarrow f(x)f'(x)=1$.
$ \to \displaystyle\int f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int x\mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \dfrac{f^2(x)}{2}=x+C \to f(x)=\sqrt{2x+2C}$.
Theo giả thiết $f(1)=ef(0)$ nên ta có $\sqrt{2+2C}=e\sqrt{2C} \Leftrightarrow 2+2C=\mathrm{e}^22C \Leftrightarrow C=\dfrac{1}{\mathrm{e}^2-1}$.
$ \to f(x)=\sqrt{2x+\dfrac{2}{\mathrm{e}^2-1}} \Rightarrow f(1)=\sqrt{2+\dfrac{2}{\mathrm{e}^2-1}}=\sqrt{\dfrac{2\mathrm{e}^2}{\mathrm{e}^2-1}}$.
==============

Câu 99
Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương trên $[0; 1],$ có đạo hàm dương và liên tục trên $[0; 1],$ thỏa mãn $f(0)=1$ và $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f^3(x)+4\left[f'(x)\right]^3\right]\mathrm{d}x \leq 3\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)f^2(x)\mathrm{\,d}x$. Tính $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=2\left(\sqrt{\mathrm{e}}-1\right)$
$I=2(\mathrm{e}^2-1)$
$I=\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}}-1}{2}$
$I=\dfrac{\mathrm{e}^2-1}{2}$

Lời Giải:
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho ba số dương ta có\\
$f^3(x)+4\left[f'(x)\right]^3=4\left[f'(x)\right]^3+\dfrac{f^3(x)}{2}+\dfrac{f^3(x)}{2} \geq 3\sqrt[3]{4\left[f'(x)\right]^3 \cdot \dfrac{f^3(x)}{2} \cdot \dfrac{f^3(x)}{2}}=3f'(x)f^2(x)$.
Suy ra $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f^3(x)+4\left[f'(x)\right]^3\right]\mathrm{d}x \geq 3\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)f^2(x)\mathrm{\,d}x$.
Mà $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f^3(x)+4\left[f'(x)\right]^3\right]\mathrm{d}x \leq 3\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)f^2(x)\mathrm{\,d}x$ nên dấu $”=”$ xảy ra, tức là\\
$4\left[f'(x)\right]^3=\dfrac{f^3(x)}{2}=\dfrac{f^3(x)}{2} \Leftrightarrow f'(x)=\dfrac{1}{2}f(x)$.
$ \to \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \displaystyle\int\limits \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits \mathrm{\,d}x \Rightarrow \ln |f(x)|=\dfrac{1}{2}x+C \to f(x)=\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2}x+C}$.
Theo giả thiết $f(0)=1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow f(x)=\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2}x} \to \displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=2\left(\sqrt{\mathrm{e}}-1\right)$.
==============

Câu 100
Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương trên $[0; 1],$ có đạo hàm dương liên và tục trên $[0; 1],$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x \geq 1$ và $f(0)=1, f(1)=\mathrm{e}^2$. Tính giá trị của $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=4$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=e$

Lời Giải:
Hàm dưới dấu tích phân là $\sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}=\sqrt{x} \cdot \sqrt{\dfrac{f'(x)}{f(x)}},\,\forall x \in [0; 1]$. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau:\\
$\dfrac{f'(x)}{f(x)}+mx \geq 2\sqrt{m} \cdot \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}$ với $m \geq 0$ và $x \in [0; 1]$.
Do đó ta cần tìm tham số $m \geq 0$ sao cho\\
$\displaystyle\int\limits_0^1 \left[\dfrac{f'(x)}{f(x)}+mx\right]\mathrm{d}x \geq 2\sqrt{m} \cdot \displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x$.
hay\\
$\ln |f(x)|\bigg|_0^1 +m\dfrac{x^2}{2}\bigg|_0^1 \geq 2\sqrt{m} \cdot 1 \Leftrightarrow \ln |f(1)|-\ln |f(0)|+\dfrac{m}{2} \geq 2\sqrt{m} \Leftrightarrow 2-0+\dfrac{m}{2} \geq 2\sqrt{m}$.
Để dấu $”=”$ xảy ra thì ta cần có $2-0+\dfrac{m}{2}=2\sqrt{m} \Leftrightarrow m=4$.
Với $m=4$ thì đẳng thức xảy ra nên $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=4x$.
$ \to \displaystyle\int\limits \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits 4x\mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \ln |f(x)|=2x^2+C \Rightarrow f(x)=\mathrm{e}^{2x^2+C}$.
Theo giả thiết $\begin{cases}&f(0)=1\\&f(1)=\mathrm{e}^2\end{cases} \Rightarrow C=0 \to f(x)=\mathrm{e}^{2x^2} \to f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}$.
Cách 2. Theo Holder\\
$1^2 \leq \left(\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2=\left(\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{x} \cdot \sqrt{\dfrac{f'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2 \leq \displaystyle\int\limits_0^1 x\mathrm{\,d}x \cdot \displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2} \cdot \ln \dfrac{f(1)}{f(0)}=1$.
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=kx,$ thay vào $\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x=1$ ta được $k=4$.
Suy ra $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=4x$. (làm tiếp như trên).
==============

Câu 101
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1],$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x \leq 1$ và $f(0)=1, f(1)=\sqrt{3}$. Tính giá trị của $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{2}$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=3$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=e$

Lời Giải:
Nhận thấy bài này ngược dấu bất đẳng thức với bài trên.
Hàm dưới dấu tích phân là $\left[f(x)f'(x)\right]^2$. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $f(x)f'(x)$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau:
$\left[f(x)f'(x)\right]^2+m \geq 2\sqrt{m} \cdot f(x)f'(x)$ với $m \geq 0$.
Do đó ta cần tìm tham số $m \geq 0$ sao cho
$\displaystyle\int\limits_0^1 \left(\left[f(x)f'(x)\right]^2+m\right)\mathrm{d}x \geq 2\sqrt{m}\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x$.
hay
$1+m \geq 2\sqrt{m} \cdot \dfrac{f^2(x)}{2}\bigg|_0^1 \Leftrightarrow 1+m \geq 2\sqrt{m}$.
Để dấu $”=”$ xảy ra thì ta cần có $1+m=2\sqrt{m} \Leftrightarrow m=1$.
Với $m=1$ thì đẳng thức xảy ra nên
$\left[f(x)f'(x)\right]^2=1 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(x)f'(x)=1\\ f(x)f'(x)=-1\end{array} \right.$.

$f(x)f'(x)=-1 \to \displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\int\limits_0^1 \mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \dfrac{f^2(x)}{2}\bigg|_0^1 =-x\bigg|_0^1 \Leftrightarrow 1=-1$. (vô lý)
$f(x)f'(x)=1 \to \displaystyle\int\limits f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits \mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \dfrac{f^2(x)}{2}=x+C \to f(x)=\sqrt{2x+2C}$.
Theo giả thiết $\begin{cases}&f(0)=1\\&f(1)=\sqrt{3}\end{cases} \Rightarrow C=\dfrac{1}{2} \to f(x)=\sqrt{2x+1} \to f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{2}$.
Cách 2. Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{f^2(x)}{2}\bigg|_0^1 =\dfrac{1}{2}\left[f^2(1)-f^2(0)\right]=1$.
Theo Holder
$1^2=\left(\displaystyle\int\limits_0^1 1 \cdot f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x\right)^2 \leq \displaystyle\int\limits_0^1 1^2\mathrm{\,d}x \cdot \displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x \leq 1 \cdot 1=1$.
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có $f'(x)f(x)=k,$ thay vào $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=1$
ta được $k=1$. Suy ra $f'(x)f(x)=1$.(làm tiếp như trên).
==============

Câu 102
Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $[1; 2],$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}\mathrm{\,d}x \leq 24$ và $f(1)=1, f(2)=16$. Tính giá trị của $f\left(\sqrt{2}\right)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f\left(\sqrt{2}\right)=1$
$f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}$
$f\left(\sqrt{2}\right)=2$
$f\left(\sqrt{2}\right)=4$

Lời Giải:
Hàm dưới dấu tích phân là $\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}=\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{f(x)}$. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau:\\
$\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}+mx \geq 2\sqrt{m}\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}$ với $m \geq 0$ và $x \in [1; 2]$.
Do đó ta cần tìm tham số $m \geq 0$ sao cho\\
$\displaystyle\int\limits_1^2 \left(\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}+mx\right)\mathrm{d}x \geq 2\sqrt{m}\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x$.
hay\\
$24+\dfrac{2m}{3} \geq 4\sqrt{m}\sqrt{f(x)}\bigg|_1^2 \Leftrightarrow 24+\dfrac{2m}{3} \geq 4\sqrt{m}\left[\sqrt{f(2)}-\sqrt{f(1)}\right] \Leftrightarrow 24+\dfrac{2m}{3} \geq 12\sqrt{m} \Leftrightarrow m=16$.
Để dấu $”=”$ xảy ra thì ta cần có $24+\dfrac{2m}{3}=12\sqrt{m} \Leftrightarrow m=16$.
Với $m=16$ thì đẳng thức xảy ra nên $\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}=16x \Rightarrow \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=2x$.
$ \to \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int 2x\mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=x^2+C \to f(x)=(x^2+C)^2$.
Theo giả thiết $\begin{cases}&f(1)=1\\&f(2)=16\end{cases} \Rightarrow C=0 \to f(x)=x^4 \to f\left(\sqrt{2}\right)=4$.
Cách 2. Ta có $\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=2 \cdot \displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=2\sqrt{f(x)}\bigg|_1^2 =2\left[\sqrt{f(2)}-\sqrt{f(1)}\right]=6$.
Theo Holder\\
$6^2=\left(\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2=\left(\displaystyle\int\limits_1^1 \sqrt{x} \cdot \dfrac{f'(x)}{\sqrt{xf(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2 \leq \displaystyle\int\limits_1^2 x\mathrm{\,d}x \cdot \displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}\mathrm{\,d}x \leq \dfrac{x^2}{2}\bigg|_1^2 \cdot 24=36$.
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{xf(x)}}=k\sqrt{x} \Leftrightarrow \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}=kx,$ thay vào $\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=6$ ta được $k=4$. Suy ra $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}=4x$. (làm tiếp như trên)\\

Tag với:Tích phân hàm ẩn

Bài liên quan:

  • Ôn tập phép đổi cận đổi biến trong tích phân
  • Một số thủ thuật tính tích phân hàm ẩn – tự luận và Casio
  • Tìm GTLN-GTNN của tích phân
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2 – Kỹ thuật Holder 2
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2 – Kỹ thuật Holder
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đạo hàm đúng
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật biến đổi
  • Tính tích phân bằng Kỹ thuật phương trình hàm (VDC)
  • Tính tích phân hàm ẩn dựa vào tính chất (VDC)

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 12
  • Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
  • Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Chương 4: Số Phức
  • Chương 1: Khối Đa Diện
  • Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
  • Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian




Booktoan.com (2015 - 2021) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.