• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đánh giá AM-GM

Đăng ngày: 11/02/2020 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Tích phân hàm ẩn

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đánh giá AM-GM 1

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đánh giá AM-GM

==============
Vấn đề 12. Kỹ thuật đánh giá AM-GM.
==============

Câu 98
Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $[0; 1],$ thỏa mãn $f(1)=ef(0)$ và $\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{\mathrm{\,d}x}{f^2(x)}+\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x \leq 2$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f(1)=\sqrt{\dfrac{2\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}}$
$f(1)=\dfrac{2(\mathrm{e}-2)}{\mathrm{e}-1}$
$f(1)=\sqrt{\dfrac{2\mathrm{e}^2}{\mathrm{e}^2-1}}$
$f(1)=\sqrt{\dfrac{2(\mathrm{e}-2)}{\mathrm{e}-1}}$

Lời Giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{\mathrm{\,d}x}{f^2(x)}+\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 \left[\dfrac{1}{f^2(x)}+\left[f'(x)\right]^2\right]\mathrm{d}x\overset{AM-GM} \geq 2\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x$.
$=2\ln |f(x)|\bigg|_0^1 =2\ln |f(1)|-2\ln |f(0)|=2\ln \left|\dfrac{f(1)}{f(0)}\right|=2\ln \mathrm{e}=2$.
Mà $\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{\mathrm{\,d}x}{f^2(x)}+\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x \leq 2$ nên dấu $”=”$ xảy ra, tức là $f'(x)=\dfrac{1}{f(x)} \Leftrightarrow f(x)f'(x)=1$.
$ \to \displaystyle\int f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int x\mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \dfrac{f^2(x)}{2}=x+C \to f(x)=\sqrt{2x+2C}$.
Theo giả thiết $f(1)=ef(0)$ nên ta có $\sqrt{2+2C}=e\sqrt{2C} \Leftrightarrow 2+2C=\mathrm{e}^22C \Leftrightarrow C=\dfrac{1}{\mathrm{e}^2-1}$.
$ \to f(x)=\sqrt{2x+\dfrac{2}{\mathrm{e}^2-1}} \Rightarrow f(1)=\sqrt{2+\dfrac{2}{\mathrm{e}^2-1}}=\sqrt{\dfrac{2\mathrm{e}^2}{\mathrm{e}^2-1}}$.
==============

Câu 99
Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương trên $[0; 1],$ có đạo hàm dương và liên tục trên $[0; 1],$ thỏa mãn $f(0)=1$ và $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f^3(x)+4\left[f'(x)\right]^3\right]\mathrm{d}x \leq 3\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)f^2(x)\mathrm{\,d}x$. Tính $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=2\left(\sqrt{\mathrm{e}}-1\right)$
$I=2(\mathrm{e}^2-1)$
$I=\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}}-1}{2}$
$I=\dfrac{\mathrm{e}^2-1}{2}$

Lời Giải:
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho ba số dương ta có\\
$f^3(x)+4\left[f'(x)\right]^3=4\left[f'(x)\right]^3+\dfrac{f^3(x)}{2}+\dfrac{f^3(x)}{2} \geq 3\sqrt[3]{4\left[f'(x)\right]^3 \cdot \dfrac{f^3(x)}{2} \cdot \dfrac{f^3(x)}{2}}=3f'(x)f^2(x)$.
Suy ra $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f^3(x)+4\left[f'(x)\right]^3\right]\mathrm{d}x \geq 3\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)f^2(x)\mathrm{\,d}x$.
Mà $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f^3(x)+4\left[f'(x)\right]^3\right]\mathrm{d}x \leq 3\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)f^2(x)\mathrm{\,d}x$ nên dấu $”=”$ xảy ra, tức là\\
$4\left[f'(x)\right]^3=\dfrac{f^3(x)}{2}=\dfrac{f^3(x)}{2} \Leftrightarrow f'(x)=\dfrac{1}{2}f(x)$.
$ \to \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \displaystyle\int\limits \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits \mathrm{\,d}x \Rightarrow \ln |f(x)|=\dfrac{1}{2}x+C \to f(x)=\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2}x+C}$.
Theo giả thiết $f(0)=1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow f(x)=\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2}x} \to \displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=2\left(\sqrt{\mathrm{e}}-1\right)$.
==============

Câu 100
Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương trên $[0; 1],$ có đạo hàm dương liên và tục trên $[0; 1],$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x \geq 1$ và $f(0)=1, f(1)=\mathrm{e}^2$. Tính giá trị của $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=4$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=e$

Lời Giải:
Hàm dưới dấu tích phân là $\sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}=\sqrt{x} \cdot \sqrt{\dfrac{f'(x)}{f(x)}},\,\forall x \in [0; 1]$. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau:\\
$\dfrac{f'(x)}{f(x)}+mx \geq 2\sqrt{m} \cdot \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}$ với $m \geq 0$ và $x \in [0; 1]$.
Do đó ta cần tìm tham số $m \geq 0$ sao cho\\
$\displaystyle\int\limits_0^1 \left[\dfrac{f'(x)}{f(x)}+mx\right]\mathrm{d}x \geq 2\sqrt{m} \cdot \displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x$.
hay\\
$\ln |f(x)|\bigg|_0^1 +m\dfrac{x^2}{2}\bigg|_0^1 \geq 2\sqrt{m} \cdot 1 \Leftrightarrow \ln |f(1)|-\ln |f(0)|+\dfrac{m}{2} \geq 2\sqrt{m} \Leftrightarrow 2-0+\dfrac{m}{2} \geq 2\sqrt{m}$.
Để dấu $”=”$ xảy ra thì ta cần có $2-0+\dfrac{m}{2}=2\sqrt{m} \Leftrightarrow m=4$.
Với $m=4$ thì đẳng thức xảy ra nên $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=4x$.
$ \to \displaystyle\int\limits \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits 4x\mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \ln |f(x)|=2x^2+C \Rightarrow f(x)=\mathrm{e}^{2x^2+C}$.
Theo giả thiết $\begin{cases}&f(0)=1\\&f(1)=\mathrm{e}^2\end{cases} \Rightarrow C=0 \to f(x)=\mathrm{e}^{2x^2} \to f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}$.
Cách 2. Theo Holder\\
$1^2 \leq \left(\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2=\left(\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{x} \cdot \sqrt{\dfrac{f'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2 \leq \displaystyle\int\limits_0^1 x\mathrm{\,d}x \cdot \displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2} \cdot \ln \dfrac{f(1)}{f(0)}=1$.
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=kx,$ thay vào $\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x=1$ ta được $k=4$.
Suy ra $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=4x$. (làm tiếp như trên).
==============

Câu 101
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1],$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x \leq 1$ và $f(0)=1, f(1)=\sqrt{3}$. Tính giá trị của $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{2}$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=3$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}$
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=e$

Lời Giải:
Nhận thấy bài này ngược dấu bất đẳng thức với bài trên.
Hàm dưới dấu tích phân là $\left[f(x)f'(x)\right]^2$. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $f(x)f'(x)$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau:
$\left[f(x)f'(x)\right]^2+m \geq 2\sqrt{m} \cdot f(x)f'(x)$ với $m \geq 0$.
Do đó ta cần tìm tham số $m \geq 0$ sao cho
$\displaystyle\int\limits_0^1 \left(\left[f(x)f'(x)\right]^2+m\right)\mathrm{d}x \geq 2\sqrt{m}\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x$.
hay
$1+m \geq 2\sqrt{m} \cdot \dfrac{f^2(x)}{2}\bigg|_0^1 \Leftrightarrow 1+m \geq 2\sqrt{m}$.
Để dấu $”=”$ xảy ra thì ta cần có $1+m=2\sqrt{m} \Leftrightarrow m=1$.
Với $m=1$ thì đẳng thức xảy ra nên
$\left[f(x)f'(x)\right]^2=1 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(x)f'(x)=1\\ f(x)f'(x)=-1\end{array} \right.$.

$f(x)f'(x)=-1 \to \displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\int\limits_0^1 \mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \dfrac{f^2(x)}{2}\bigg|_0^1 =-x\bigg|_0^1 \Leftrightarrow 1=-1$. (vô lý)
$f(x)f'(x)=1 \to \displaystyle\int\limits f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits \mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \dfrac{f^2(x)}{2}=x+C \to f(x)=\sqrt{2x+2C}$.
Theo giả thiết $\begin{cases}&f(0)=1\\&f(1)=\sqrt{3}\end{cases} \Rightarrow C=\dfrac{1}{2} \to f(x)=\sqrt{2x+1} \to f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{2}$.
Cách 2. Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{f^2(x)}{2}\bigg|_0^1 =\dfrac{1}{2}\left[f^2(1)-f^2(0)\right]=1$.
Theo Holder
$1^2=\left(\displaystyle\int\limits_0^1 1 \cdot f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x\right)^2 \leq \displaystyle\int\limits_0^1 1^2\mathrm{\,d}x \cdot \displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x \leq 1 \cdot 1=1$.
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có $f'(x)f(x)=k,$ thay vào $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=1$
ta được $k=1$. Suy ra $f'(x)f(x)=1$.(làm tiếp như trên).
==============

Câu 102
Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $[1; 2],$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}\mathrm{\,d}x \leq 24$ và $f(1)=1, f(2)=16$. Tính giá trị của $f\left(\sqrt{2}\right)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f\left(\sqrt{2}\right)=1$
$f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}$
$f\left(\sqrt{2}\right)=2$
$f\left(\sqrt{2}\right)=4$

Lời Giải:
Hàm dưới dấu tích phân là $\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}=\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{f(x)}$. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau:\\
$\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}+mx \geq 2\sqrt{m}\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}$ với $m \geq 0$ và $x \in [1; 2]$.
Do đó ta cần tìm tham số $m \geq 0$ sao cho\\
$\displaystyle\int\limits_1^2 \left(\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}+mx\right)\mathrm{d}x \geq 2\sqrt{m}\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x$.
hay\\
$24+\dfrac{2m}{3} \geq 4\sqrt{m}\sqrt{f(x)}\bigg|_1^2 \Leftrightarrow 24+\dfrac{2m}{3} \geq 4\sqrt{m}\left[\sqrt{f(2)}-\sqrt{f(1)}\right] \Leftrightarrow 24+\dfrac{2m}{3} \geq 12\sqrt{m} \Leftrightarrow m=16$.
Để dấu $”=”$ xảy ra thì ta cần có $24+\dfrac{2m}{3}=12\sqrt{m} \Leftrightarrow m=16$.
Với $m=16$ thì đẳng thức xảy ra nên $\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}=16x \Rightarrow \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=2x$.
$ \to \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int 2x\mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=x^2+C \to f(x)=(x^2+C)^2$.
Theo giả thiết $\begin{cases}&f(1)=1\\&f(2)=16\end{cases} \Rightarrow C=0 \to f(x)=x^4 \to f\left(\sqrt{2}\right)=4$.
Cách 2. Ta có $\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=2 \cdot \displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=2\sqrt{f(x)}\bigg|_1^2 =2\left[\sqrt{f(2)}-\sqrt{f(1)}\right]=6$.
Theo Holder\\
$6^2=\left(\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2=\left(\displaystyle\int\limits_1^1 \sqrt{x} \cdot \dfrac{f'(x)}{\sqrt{xf(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2 \leq \displaystyle\int\limits_1^2 x\mathrm{\,d}x \cdot \displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}\mathrm{\,d}x \leq \dfrac{x^2}{2}\bigg|_1^2 \cdot 24=36$.
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{xf(x)}}=k\sqrt{x} \Leftrightarrow \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}=kx,$ thay vào $\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=6$ ta được $k=4$. Suy ra $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}=4x$. (làm tiếp như trên)\\

Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Tích phân hàm ẩn

Bài liên quan:

  1. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\{ – 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2}\end{array}} \right.\). Tính tích phân

    \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{x.f\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx + \int\limits_{\ln 2}^{\ln 3} {{e^{2x}}.f\left( {1 + {e^{2x}}} \right)dx} \)

  2. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\x&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\). Khi đó \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos xf\left( {\sin x} \right)} dx\)bằng

  3. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 0\\2{x^2} – x + 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 0\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( {3\cos x – 2} \right)} \sin x{\rm{d}}x\).

  4. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả \(f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)Tích phân \(\int_{ – 2}^8 {f\left( x \right)} dx\) bằng

  5. Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {1 + x} \right| – \left| {1 – x} \right|\) trên tập \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 3\). Tính tổng \(F\left( 0 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( { – 3} \right)\).

  6. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 1}\\{x + 1}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 1}\end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{ – 2}^1 {f(\sqrt[3]{{1 – x}}){\rm{d}}x}  = \frac{m}{n}\) (\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản), khi đó \(m – 2n\) bằng:

  7. Cho hai hàm \(f(x)\) và \(g(x)\)có đạo hàm trên \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(f(1) = g(1) = 0\) và

    \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{{{(x + 1)}^2}}}g(x) + 2017x = (x + 1)f'(x)\\\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}g'(x) + f(x) = 2018{x^2}\end{array} \right.{\rm{, }}\forall x \in \left[ {1;2} \right].\)

    Tính tích phân\(I = \int\limits_1^2 {\left[ {\frac{x}{{x + 1}}g(x) – \frac{{x + 1}}{x}f(x)} \right]} dx\).

  8. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}3x + 3\,\,\,{\rm{khi }}x < \frac{1}{2}\\x + 4\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)} \cos x{\rm{d}}x\).

  9. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}1 – {x^2}\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\2x – 2\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x > 1\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {5\sin 2x – 1} \right)} \cos 2x{\rm{d}}x\).

  10. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} – 1\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 0\\x – 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,0 \le x \le 2\\5 – 2x\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 2\,\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {2 – 7\tan x} \right)} \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x\).

  11. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) đồng thời thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0,{\kern 1pt} \;\forall x \in \mathbb{R}\\f’\left( x \right) =  – {e^x}{f^2}\left( x \right),{\kern 1pt} \;\forall x \in \mathbb{R}\\f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

    Tính giá trị của \(f\left( {\ln 2} \right)\).

  12. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^3} – x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{ – 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{f\left( {\tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int\limits_0^{\sqrt {\sqrt e  – 1} } {\frac{{x.f\left( {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right)}}{{{x^2} + 1}}} dx = \frac{a}{b}\)với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tổng \(a + b\) bằng

  13. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{2x – 3}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x – 1)\cos x\;dx}  + \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx}  = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tích \(a + b\) bằng

  14. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4\), \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 6\). Tính \(I = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {2x + 1} \right|} \right){\rm{d}}x} \)

  15. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x – 4\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\4 – 2x\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {3 – 4{{\cos }^2}x} \right)} \sin 2x{\rm{d}}x\).

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 12
  • Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
  • Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Chương 4: Số Phức
  • Chương 1: Khối Đa Diện
  • Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
  • Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.