(THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) đồng thời thỏa điều kiện \(f\left( 0 \right) > 0\) và \(\left[ {f\left( x \right) + 6x} \right]f\left( x \right) = 9{x^4} + 3{x^2} + 4,\forall x \in \mathbb{R}\). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( {2{x^2} – 3x + 1} \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

A. \(\frac{5}{2}\).

B. \(\frac{{17}}{7}\).

C. \(\frac{{155}}{{64}}\).

D. \(\frac{{167}}{{69}}\).

Lời giải:

Chọn C

⬥ Có \(\left[ {f\left( x \right) + 6x} \right]f\left( x \right) = 9{x^4} + 3{x^2} + 4 \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right) + 3x} \right]^2} = {\left( {3{x^2} + 2} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) + 3x = 3{x^2} + 2\\f\left( x \right) + 3x = – 3{x^2} – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 3{x^2} – 3x + 2\\f\left( x \right) = – 3{x^2} – 3x – 2\;(l)\end{array} \right.\).

⬥ Đặt \(t = 2{x^2} – 3x + 1,\) với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì \(t \in \left[ { – \frac{1}{8};1} \right]\).

Xét hàm \(g\left( t \right) = f\left( t \right)\) trên \(\left[ { – \frac{1}{8};1} \right]\), có \(g’\left( t \right) = f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 6t – 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \in \left[ { – \frac{1}{8};1} \right]\).

Có \(g\left( { – \frac{1}{8}} \right) = \frac{{155}}{{64}};\;g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{5}{4};\;g\left( 1 \right) = 2\).

Suy ra, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – \frac{1}{8};1} \right]} g\left( t \right) = \frac{{155}}{{64}}\).