Câu hỏi:
(THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – 2022) Cho \(x,y\) là các số thực dương và thỏa mãn \(\frac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt y }} = \frac{{y + 1}}{x}\). Giá trị nhỏ nhất \(m\) của biểu thức \(P = \frac{{y + 4}}{x}\) là
A. \(m = 3\)
B. \(m = 2\sqrt 2 \)
C. \(m = 4\)
D. \(m = 8\)
Lời giải:
Chọn C
Ta có: \(\frac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt y }} = \frac{{y + 1}}{x} \Leftrightarrow {x^3} + x = {\left( {\sqrt y } \right)^3} + \sqrt y \) (1).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\), \(t > 0\) có \(f’\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0,\,\forall t > 0\)
\( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \sqrt y \Leftrightarrow {x^2} = y\).
Khi đó: \(P = \frac{{y + 4}}{x} = \frac{{{x^2} + 4}}{x} = x + \frac{4}{x} \ge 2.\sqrt {x.\frac{4}{x}} = 4\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{4}{x} \Leftrightarrow x = 2;y = 4\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(4\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm VDC Hàm số
Trả lời