\(\) (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \(f\left( {2x} \right) + \frac{{8{x^3}}}{3} – 4x – m < 0\) đúng với mọi \(x \in \left[ { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\)

A. \(m > f\left( 1 \right) – \frac{5}{3}\).

B. \(m > f\left( 0 \right)\).

C. \(m \ge f\left( 0 \right)\).

D. \(m > f\left( 3 \right)\).

Lời giải:

Chọn B

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {2x} \right) + \frac{{8{x^3}}}{3} – 4x\) ta có \(g’\left( x \right) = 2f’\left( {2x} \right) + 8{x^2} – 4\), giải phương trình \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {2x} \right) = 2 – {\left( {2x} \right)^2}\).

Theo giả thiết chỉ xét \(x \in \left[ { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) nên \(2x \in \left[ { – 1;1} \right]\), trên đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) ta vẽ thêm parabol \(y = 2 – {x^2}\) ta có \(f’\left( {2x} \right) = 2 – {\left( {2x} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 1\\2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = 0\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(x \in \left[ { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) như sau

Ta có: \(g\left( 0 \right) = f\left( {2.0} \right) + \frac{{{{8.0}^3}}}{3} – 4.0 = f\left( 0 \right)\) và \(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = f\left( {2.\frac{1}{2}} \right) + \frac{{8.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3}}}{3} – 4.\frac{1}{2} = f\left( 1 \right) – \frac{5}{3}\)

Nên ta có

Từ YCBT cho ta mệnh đề

\(f\left( {2x} \right) + \frac{{8{x^3}}}{3} – 4x – m < 0,x \in \left[ { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right] \Leftrightarrow g\left( x \right) < m,x \in \left[ { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right] \Leftrightarrow m > f\left( 0 \right)\)