(THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\) và hai điểm \(A\left( {6;0;0} \right),B\left( {0;0; – 6} \right)\). Khi \(M\) thay đổi trên đường thẳng \(d\), hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = MA + MB\)

Câu hỏi:

A. \(\min P = 6\sqrt 3 \).

B.\(\min P = 6\sqrt 2 \).

C.\(\min P = 9\).

D.\(\min P = 12\).

Lời giải:

Chọn A

Cách 1:

Ta có \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + 2t\\z = – 1 + t\end{array} \right.\), vì \(M \in d \Rightarrow M\left( {1 + 2t;1 + 2t; – 1 + t} \right)\).

\(P = MA + MB = \sqrt {{{\left( {2t – 5} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {t – 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2t + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {t + 5} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {9{t^2} – 18t + 27} + \sqrt {9{t^2} + 18t + 27} = 3\left[ {\sqrt {{{\left( {1 – t} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {t + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} } \right]\)

Gọi \(\overrightarrow u = \left( {1 – t;\sqrt 2 } \right);\overrightarrow v = \left( {t + 1;\sqrt 2 } \right)\).

Ta có \(\left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right| \ge \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow \left[ {\sqrt {{{\left( {1 – t} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {t + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} } \right] \ge 2\sqrt 3 \).

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{1 – t}}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow t = 0\). Suy ra \(P \ge 6\sqrt 3 \).

Vậy \(\min P = 6\sqrt 3 \).

Cách 2:

+) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và đi qua điểm \(B\).

Gọi \(\Delta = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên đường thẳng \(d\) và \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(I\), bán kính \(AI\) và đường tròn \(\left( C \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Gọi \({A_1},{A_2}\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và đường tròn \(\left( C \right)\) (trong đó \({A_1}\) và \(B\) nằm về hai phía của đường thẳng \(d\)).

Suy ra \(M{A_1} = MA \Rightarrow MA + MB = M{A_1} + MB \ge {A_1}B = const\).

+) Ta có \(d\left( {A;d} \right) = d\left( {B;d} \right) = 3\sqrt 2 \Rightarrow d\left( {{A_1};d} \right) = d\left( {{A_2};d} \right) = d\left( {B;d} \right) \Rightarrow {A_1}{A_2} \bot {A_2}B\).

\( \Rightarrow {A_1}B = \sqrt {{{\left( {{A_1}{A_2}} \right)}^2} + {{\left( {{A_2}B} \right)}^2}} = \sqrt {4I{A^2} + {d^2}\left( {B,\left( P \right)} \right)} = \sqrt {4{d^2}\left( {A,d} \right) + {d^2}\left( {B,\left( P \right)} \right)} \)

+) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {6;0;0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;2;1} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\left( P \right)\)có phương trình: \(2x + 2y + z – 12 = 0 \Rightarrow d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 6\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = MA + MB\)là \({A_1}B = \sqrt {{6^2} + 4.{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}} = 6\sqrt 3 \).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC