(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2022) Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f\prime (x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị \(y = f\prime (x)\) cắt trục hoành tại hai điếm phân biệt có hoành độ lần lượt là \( – 3;2\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \([ – 10;10]\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x – m} \right)\) đồng biến trên \(( – 1;1)\).

A. 12.

B. 14.

C. 11.

D. \(13.\)

Lời giải:

Từ bảng biến thiên của \(f\prime (x)\) và \(f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow x = – 3;x = 2\) ta có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

\(\begin{array}{l}{\rm{ ycbt }} \Leftrightarrow (2x + 2)f\prime \left( {{x^2} + 2x – m} \right) \ge 0,\forall x \in [ – 1;1]\\ \Leftrightarrow f\prime \left( {{x^2} + 2x – m} \right) \ge 0,\forall x \in [ – 1;1]\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x^2} + 2x – m \ge 2,\forall x \in [ – 1;1]\\{x^2} + 2x – m \le – 3,\forall x \in [ – 1;1]\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le g(x) = {x^2} + 2x – 2,\forall x \in [ – 1;1]\\m \ge h(x) = {x^2} + 2x + 3,\forall x \in [ – 1;1]\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le {\min _{[ – 1;1]}}g(x) = g( – 1) = – 3\\m \ge {\max _{[ – 1;1]}}h(x) = h(1) = 6\end{array} \right.\quad \Rightarrow m \in \{ – 10, \ldots , – 3,6, \ldots ,10\} \)